Jordan Normalform mittels (P^-1)AP bestimmen (einer 4x4 Matrix):

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die folgende reelle \( 4 \times 4 \)-Matrix
\( A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 4 & -2 \\ 4 & -1 & 4 & -2 \end{array}\right) \)
mit charakteristischem Polynom \( P_{A}(X)=X^{4}-2 X^{3} \) (das muss nicht nachgeprüft werden). Bestimme eine Matrix \( P \in \mathrm{GL}_{4}(\mathbb{R}) \) so, dass \( P^{-1} A P \mathrm{JNF} \) hat.

Problem/Ansatz:
Prinzipiell ist mir das System der JNF klar, aber bei diesen konkreten Beispiel komme ich nicht weiter:

Die beiden Eigenwerte lauten ja X₂=0 (mit algebraischer Vielfachheit 3) und X₁=2. Somit weiß ich ja schon, dass mein J folgendermaßen aussehen muss:

\( J=\left(\begin{array}{llll}0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2\end{array}\right) \)

Wenn ich Jetzt den Kern zum Eigenwert X₂ bestimme erhalte ich:

\( \left\{\left[\begin{array}{c}-\frac{4}{3} \\ -\frac{4}{3} \\ 1 \\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}\frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \\ 0 \\ 1\end{array}\right]\right\} \)
Das entspricht aber ja noch nicht der algebraischen Vielfachheit (wie ich in diesem speziellen Fall zum 3 EV komme ist mir nicht klar)

Für den Eigenwert X1 ergibt sich: \( \left\{\left[\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right]\right\} \)


Müsste das S aber nicht folgendermaßen aussehen?:

\( P=\left(\begin{array}{cccc}0 & 4 & 4 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 0 \\ 7 & -2 & 0 & 1 \\ 14 & 2 & 7 & 1\end{array}\right) \)  \( P^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}-\frac{1}{4} & \frac{3}{28} & -\frac{1}{7} & \frac{1}{7} \\ 0 & \frac{1}{4} & 0 & 0 \\ \frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & 0 & 0 \\ \frac{7}{4} & -\frac{1}{4} & 2 & -1\end{array}\right) \)

Danke für hilfreiche Erklärungen :)
LG Euler

Comments

Ich habe mir jetzt noch folgendes berechnet:

\( (A-0*En)^{2} \) → \( \left(\begin{array}{c}\frac{1}{7} \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}\frac{-8}{7} \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}\frac{4}{7} \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right) \)

Wenn ich dann für

\( (A-0*En)^{2} \)
\( (A-0*En)^{1} \)
\( (A-2*En)^{1} \)
die Jordan-Ketten für die verallgemeinerten Eigenvektoren berechne erhalte ich:
P= \( \left(\begin{array}{cccc}\frac{-6}{7} & \frac{1}{7} & \frac{-4}{3} & 0 \\ \frac{-6}{7} & 1 & \frac{-4}{3} & 0 \\ \frac{3}{7} & 0 & 1 & 1 \\ \frac{-3}{7} & 0 & 0 & 1\end{array}\right) \)

Insgesamt also:

\( \left(\begin{array}{cccc}1 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 4 & -2 \\ 4 & -1 & 4 & -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}\frac{-6}{7} & \frac{1}{7} & \frac{-4}{3} & 0 \\ \frac{-6}{7} & 1 & \frac{-4}{3} & 0 \\ \frac{3}{7} & 0 & 1 & 1 \\ \frac{-3}{7} & 0 & 0 & 1\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{llll}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{cccc}\frac{49}{12} & \frac{-7}{12} & \frac{14}{3} & \frac{-14}{3} \\ \frac{-7}{6} & \frac{7}{6} & 0 & 0 \\ \frac{-7}{2} & \frac{1}{2} & -3 & 3 \\ \frac{7}{4} & \frac{-1}{4} & 2 & -1\end{array}\right) \)

Habe ich das jetzt so richtig durchgerechnet?

Answer 1

Ja, das letzte stimmt so.

Hinweise: Schreib P ohne Brüche - vervielfachen der Spalten ändert die gewünschten Eigenschaften nicht.

Zu Deinem ersten Versuch: Aus der alg.VF kannst Du nicht auf \(J\) schließen, dazu brauchst Du die geom. VF, wofür Du LGSe lösen musst.

Zu \(\lambda=2\): hier ist alg.VF=1, also geom.VF=1 (weil weniger geht ja nicht).

Zu \(\lambda=0\): hier alg. VF=3, rg(A)=2=dim(kern(A))=geomVF. Es gibt also zwei (lin.unabh.) EVen und einen Hauptvektor. Für letzteren musst Du den kern von \((A-0\,E)^2\) bestimmen, der wird aufgespannt von den beiden EVen und einem HV. Hast Du anscheinend gemacht, daher alles gut.

Comments

@nuder: Danke für deine Antwort - in unserem Skript ist das sowas von umständlich beschrieben, dass ich jetzt ein wenig gebraucht habe, um die Thematik zu erfassen.

Also danke für deine Erklärung dazu - macht es nochmals verständlicher :)

LG Euler