Entscheide ob die Reihe konvergent sind

Question

Aufgabe:Entscheiden Sie, ob die folgenden Reihen konvergent sind.
a) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{n+4}{n^{2}-3 n+1} \)
b) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(n+1)^{n-1}}{(-n)^{n}} \)
c) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{n !}{n^{n}} \)

Problem/Ansatz: mein Problem ist z.B bei a) habe ich 1/n-3 aber ich weiß nicht wie ich damit zeige ob es nicht konvergent ist

Bei B ) habe ich das Quotientenkriterium genutzt  und bei c habe ich komplett keine ahnung wollte fragen ob es so richtig ista) Beh:: \( \frac{n+4}{n^{2}-3 n+1} \) ist nicht konvergent.

Bew:
\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{n+4}{n^{2}-3 n+1}=\frac{n \cdot\left(1+\frac{1}{n}\right)}{n \cdot\left(n-3+\frac{1}{n}\right)}=\frac{1+\frac{n}{n}}{n-3+\frac{1}{n}}=\frac{1}{n-3}>\frac{1}{n}  \)
b) Beh: \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(n+1)^{n-1}}{(-n)^{n}} \) ist nicht konvergent

Beweis:
\( \frac{\frac{(n+1)^{n-1}}{(-n)^{n}}}{\frac{(n+2)^{n}}{(-n-1)^{n+1}}}=\frac{(n+1)^{2 n}}{\left(n(n+2)^{n}\right.}=\left(\frac{(n+1)^{2}}{n(n+2)}\right)^{n} \geq 1 \Leftrightarrow \frac{(n+1)^{2}}{n(n+2)} \geq 1 \Rightarrow \text { divergent }_{\text {a }} \)

Comments

vgl:

https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Anwendung_der_Konvergenzkriterien_bei_Reihen

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Wenn ich es richtig verstehe, hast Du für b) gezeigt, dass \(|a_n|/|a_{n+1}|\geq 1\) ist. Daraus folgt (i.allg.) nicht die Divergenz der Reihe.

Answer 1

bei a) habe ich 1/n-3 aber ich weiß nicht wie ich damit zeige
ob es nicht konvergent ist

Du hast doch, dass ab n=3 die Folgenglieder größer als 1/n sind.

Also ist die harmonische Reihe eine divergente Minorante,

also deine Reihe auch divergent.

Bei c) gibt das Quotientenkriterium

\( \frac{\frac{n!}{(n)^{n}}}{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}= \frac{n!}{(n)^{n}}\cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}= \frac{n!}{(n+1)!}\cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{(n)^{n}}= \frac{1}{n+1}\cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{(n)^{n}}=  \frac{(n+1)^{n}}{(n)^{n}}  \)

\( = ( 1 + \frac{1}{n} )^{n} \)  Für n gegen unendlich geht das gegen e, ist

also von einem gewissen n an immer größer als 2.

Comments

Danke, habe es verstanden !

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Wäre die Rechnung für b) richtig ?

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\(|a_n|/|a_{n+1}|\geq 1\) reicht nicht.

Du brauchst ein q>1 mit \(|a_n|/|a_{n+1}|\geq q\) für alle n>N.