Anfangswertprobleme Integral berechnen

Question

Aufgabe:

Gegeben ist das Anfangswertproblem
(†) \( \ddot{x}-\frac{1}{2} x\left(\dot{x}^{3}+\dot{x}\right), \quad x(0)-0, \quad \dot{z}(0)-1 \).

Meinen Rechenweg:
\( \begin{array}{l} \ddot{x}=1 / 2 x\left(\dot{x}^{3}+3\right), x(0)=0, \dot{x}(0)=1 \\ u(x)=\dot{x}(t) \\ u(x(t)) \\ \ddot{x}(t)=\frac{d}{d t}\left[\frac{d x}{d t}\right]=\frac{d}{d t}[u(x(t))] \\ =u^{\prime}(x) \dot{x}(t) \\ =u^{\prime}(x) u(x) \\ u^{\prime}(x) \cdot u(x)=\frac{1}{2} x\left(u(x)^{3}+u(x)\right) \\ 2 u^{\prime}(x)=u(x)^{2} \cdot x \\ u^{\prime}(x)=\frac{u(x)^{2} \cdot x}{2} \end{array} \)

Hallo zusammen!
So habe ich alles eingesetzt aber ich kann es leider nicht weiterrechnen. Habe ich hier einer Denkfehler?
Danke für eure Hilfe!

Comments

Lies doch nochmal den Anfang durch. Im AWP steht gar keine Gleichung. Und in Deinem ersten Schritt ist entweder falsch ausgeklammert und/oder mit den Ableitungen stimmt was nicht. Nach Weiterlesen steht einem dann nicht mehr der Sinn.

---

Sorry, hab mich vertippt. Hier ist es noch mal richtige Aufgabe und richtiger Rechenweg.

Gegeben ist das Anfangswertproblem(*) \( \ddot{x}=\frac{1}{2} x\left(\dot{x}^{3}+\dot{x}\right), \quad x(0)=0, \quad \dot{x}(0)=1 \).

Meinen Rechenweg:\( \begin{array}{l} \ddot{x}=1 / 2 x\left(\dot{x}^{3}+\dot{x}\right), x(0)=0, \dot{x}(0)=1 \\ u(x)=\dot{x}(t) \\ u(x(t)) \\ \ddot{x}(t)=\frac{d}{d t}\left[\frac{d x}{d t}\right]=\frac{d}{d t}[u(x(t))] \\ =u^{\prime}(x) \dot{x}(t) \\ =u^{\prime}(x) u(x) \\ u^{\prime}(x) \cdot u(x)=\frac{1}{2} x\left(u(x)^{3}+u(x)\right) \\ 2 u^{\prime}(x)=u(x)^{2} \cdot x \\ u^{\prime}(x)=\frac{u(x)^{2} \cdot x}{2} \end{array} \)

Answer 1

Wenn es bis hierher stimmt, dann

\(  u^{\prime}(x)=\frac{u(x)^{2} \cdot x}{2}  \)

\(  \frac{du}{dx}= \frac{u^{2} \cdot x}{2}  \)

\(  \frac{du}{u^2}= \frac{x} {2} dx  \)

Und jetzt integrieren.

\( \int \frac{1}{u^2} du = \int \frac{x} {2} dx \)

\( \frac{-1}{u} =  \frac{1} {4}  x^2  + C \)

\( u =  \frac{-1} {  \frac{1} {4}  x^2  + C}   \)

Comments

Super! Grad verstanden, danke!

---

Wenn es bis hierher stimmt, dann

Sollte nicht u(x)/u(x)=1 sein und nicht 0?

---

In der vorletzten Zeile würde ich auf \(2u' = x(u^2+1)\) kommen.

---

ich bin grad wirklich verwirrt, wenn ich so weitermache dann kriege ich unendlich raus ?

---

Das solltest Du mal vorrechnen

---

In der vorletzten Zeile würde ich auf \(2u' = x(u^2+1)\) kommen.

wenn ich so berechne dann ist die Gleichung 4 arctan(u)=x^2, denkt ihr dass ich mit ihr weiterrechnen kann ?

---

Warum nicht?

Ich lass mal G weitermachen.

---

dann finde ich C1= 0

dann mache ich die zweite Gleichung

2arctan(x'(t))=x^2/2 damit ich C2 finden kann aber was wäre eure Empfehlung hier ? Ich kann es nicht weiterrechnen

Answer 2

Hallo,

\( u^{\prime}(x) \cdot u(x)=\frac{1}{2} x\left(u(x)^{3}+u(x)\right) \)

u'(x) *u(x) - \( \frac{x}{2} \) *u(x) (u^2 (x) +1)

Klammere u(x) aus:

u(x) (u'(x)  - \( \frac{x}{2} \)  (u^2 (x) +1)

->u(x)=0

u'(x)  - \( \frac{x}{2} \)  (u^2 (x) +1) =0

usw.

Comments

aber wann würdest du hier integrieren ?

---

u'(x)= \( \frac{x}{2} \) (u^2(x)+1)

du/dx= \( \frac{x}{2} \) (u^2(x)+1)

\( \frac{du}{u^{2}+1} \) = \( \frac{x}{2} \) dx

hier dann integrieren

arctan(u)= x^2/4 +C

u= tan(x^2/4+C)

u(x)= x'(t)

AWB einsetzen:

x'(0)=1

1=tan(c)

c=\( \frac{π}{4} \) +kπ ,k∈ G

x'(t)= tan(x^2/4+π/4 +kπ)

dx/dt=  tan(x^2/4+π/4 +kπ)

dx/(tan(x^2/4+π/4 +kπ)) =dt

ich kann keine Stammfunktion finden,(linkes Integral)

gemäß https://www.integralrechner.de/

Ist die Aufgabe richtig abgeschrieben, gibt es einen Druckfehler?

---

ich hab so gemacht:

2 arctan(u)=x^2/2+C1

2 arctan(x'(t)) =x^2/2+C1

dann  AWB einsetzen x'(0)=1

2 arctan(0)=0/2+C1 und C1=0

ist falsch ?

---

ich hab meinen Fehler gesehen und wurde korrigiert aber trotzdem am ende kriege ich cot(x^2+pi*k+pi/4)=t+C2 raus und hab da keinen Plan, wie ich jetzt vorgehen soll

---

ich konnte es auch nicht finden

Hier ist die nocht mal die Aufgabe und es gibt keinen Druckfehler also hab noch mal nachgeschaut

Gegeben ist das Anfangswertproblem(*) \( \ddot{x}=\frac{1}{2} x\left(\dot{x}^{3}+\dot{x}\right), \quad x(0)=0, \quad \dot{x}(0)=1 \).

---

Wolfram alpha hat auch kein Ergebnis gefunden , bei Deiner letzten Aufgabe gab es ein Ergebnis,

gut das muß in der Endkonsequenz nichts besagen, aber dieses Tool ist schon nicht so schlecht.

https://www.wolframalpha.com