Flächeninhalt und Umfang Kreis Halbkreis

Question

Bitte ausführlich und verständlich.

Flächeninhalt und Umfang in abhänigkeit von e.

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Willst du dich nicht mal aufgrund der anderen Lösung von mir selber an die Aufgabe wagen.

Was verstehst du nicht?

Kreisfläche A = pi * r^2

Kreisumfang U = 2 * pi * r

Flächen können additiv oder subtraktiv zusammengesetzt werden.

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Ich weiß schon wie man das rechnet, aber ich kann das dann nicht weiter zusammenfassen                         wie geht das????

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Ich komm bei c) soweit: U = pi·e + 2·e + 1/4·2·pi·e + √2·e  aber ich weiß nicht wie man jetzt von diesem schritt zu der Lösung e·(3/2·pi + √2 + 2) kommt?

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U = pi·e + 2·e + 1/4·2·pi·e + √2·e 

Man sieht hier in jedem Summanden zumindest den Faktor e und kann diesen aus allen Summanden ausklammern

U = e·(pi + 2 + 1/4·2·pi + √2)

Die Klammer kann noch weiter zusammengefasst werden

U = e·(pi + 2 + 1/2·pi + √2)

U = e·(pi + 1/2·pi + 2 + √2)

U = e·(3/2·pi + 2 + √2)

Schau dir auf jeden Fall das kostenlose Video zum Distributivgesetz an unter:

https://www.matheretter.de/mathe-videos

Das Video davor zum Kommutativ und Assoziativgesetz kann bestimmt auch nicht schaden.

Answer 1

In Figur a) erkennt man bei genauer Betrachtung, dass die markierte Fläche einem Quadrat innerhalb des äußeren Quadrates entspricht. Schneidet man nämlich von der Figur die  Kreissegmente links unten und rechts oben ab und setzt diese links oben und rechts unten in die Figur ein, so erhält man genau ein Quadrat, für dessen Seitenlänge a nach Pythagoras gilt:

a = √ ( ( e / 2 ) ² + ( e / 2 ) ² ) = √ ( e ² / 2 )  = e √ ( 1 / 2 )

Der Flächeninhalt A der markierten Fläche beträgt also :

A = a ² = ( e √ ( 1 / 2 ) ) ² = e ² /  2

also gerade die Hälfte des Flächeninhaltes des äußeren Quadrates.

Der Trick bei allen aufgaben besteht darin, zu erkennen, auf welche Weise man die gegebene Fläche in einfach zu berechnende Teilflächen zerlegen und ggf. neu zusammensetzen kann. Hat man das erst einmal geschafft, erfolgt die Flähchenberechnung durch Anwendung grundlegender Flächeninhaltsformeln.

Comments

wie geht der Umfang bei a)

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Nun, die Figur ist von vier Viertelkreisbögen umgrenzt, die jeweils den Radius e / 2 haben.
(Zwei dieser Viertelkreise haben ihren Mittelpunkt im Zentrum des umgebenden Quadrates, die beiden anderen in zwei einander gegenüberliegenden Ecken diese Quadrates.)

Vier Viertelkreisbögen mit gleichem Radius aber ergeben einen Vollkreisbogen mit eben diesem Radius. Der Umfang der Figur entspricht also dem Umfang eines Vollkreises mit Radius e / 2 , also:

U = 2 * π * e / 2 = π * e

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Ich komm bei c) soweit: U = pi·e + 2·e + 1/4·2·pi·e + √2·e  aber ich weiß nicht wie man jetzt von diesem schritt zu der Lösung e·(3/2·pi + √2 + 2) kommt?

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Deine bisherige Lösung

U = pi·e + 2·e + 1/4·2·pi·e + √2·e 

ist korrekt :-)

 

Nun e ausklammern:

= e ( pi + 2 + 1/4·2·pi + √ 2 )

ausmultipizieren:

= e ( pi + 2 + 1/2·pi + √ 2 )

Zusammenfassen ( pi + 1/2 pi = 3/2 pi):

= e ( 3/2·pi + 2 + √2 )

Umordnen:

= e ( 3/2·pi + √2 + 2  )

Fertig!