Was bedeutet F5 in dem Fall?

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die inverse Matrix von

1 2 3 4
0 2 4 1
2 3 4 1
1 2 0 1

über F5.

Problem/Ansatz:

Was bedeutet F5 in dem Fall?

Answer 1

Der Zahlenkörper der Restklassen modulo 5. Ist sicher in der Vorlesung erklärt worden. Heißt praktisch: Rechnen wie gewohnt, aber jede(!) Zahl auf den 5er Rest reduzieren. Es kommen also nur Zahlen 0,1,2,3,4 vor. Wie in der Ausgangsmatrix.

Aufpassen beim Dividieren - das ist ja das Multiplizieren mit dem Inversen (welches man sich erst noch überlegen muss).

Also, auf geht's.

Comments

Die Frage verwirrt mich sehr und ich weiß nicht, was ich tun soll. Um die Nullen in der dritten Zeile zu bekommen, habe ich die dritte Zeile von der zweiten Zeile subtrahiert. Ebenso habe ich die erste Zeile von der vierten Zeile subtrahiert, um Nullen in der vierten Zeile zu erhalten, aber dann weiß ich nicht, was ich tun soll.

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Was steht denn da, nach den von Dir genannten Umformungen? Große Zahlen können ja nicht auftreten, wie eben erklärt.

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1 2 3 4

0 2 4 1

0 -1 -2 -7

0 0 -3 -3

die inverse Matrix

1  0 0 0

0 1 0 0

-2 0 1 0

-1 0  0 1

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7 ist nicht in F5. Nach jedem Schritt durch 5er-Rest ersetzen. Auch die negativen Zahlen, also -3 ->2 (vielfache von 5 addieren bis man in 0...4 landet).

Das ist nur ein Zwischenstand, oder was ist das? Jetzt die Hälfte der 2.Zeile von der 3. subtrahieren.
Beachte: 1/2 ist in F5 3, weil 2*3=1 in F5 (findet man am einfachsten durch ausprobieren, sind ja nicht viele Möglichkeiten).

Also: 3mal die 2. Zeile von der 3. subtrahieren.

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A^-1= 1 0 0 0

         0 3 0 0

          0 3 2 0

           0 2 3 4
Ich habe dieses Ergebnis rausbekommen.

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Könnte hinkommen. Mach mal die Probe (Test: ist AA^{-1}=I?).

Answer 2

Ich steuere mal eine Rechenhilfe bei

GeoGebra CAS

IP:{.....\(\{{m, n, k}\}:\, Zeile\;m\;+=\; Zeile\;n\cdot k\)}

{n,m} Tausche Zeile n <> Zeile m, n<m

Die 2 Nuller der ersten Spalte sind bereits eingetragen,

..{3,1,3},{4,1,4}.. Ausführen ==> p=2...

A^-1= 1 0 0 0
        0 3 0 0
        0 3 2 0
        0 2 3 4

ist nicht die Inverse ...