Das berechnen der Eigenwerte wäre kein Problem, aber wie macht man das mit einer Konstanten alpha?

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Aufgabe 1. - Quadrik (ähnlich zur Klausuraufgabe vom Juli 2021) (6 Punkte) Gegeben ist \( \operatorname{im} \mathbb{R}^{3} \) die Quadrik
\( p(x, y, z)=x^{2}+(\alpha-1) y^{2}+(\alpha-1) z^{2}-2(\alpha+1) y z+1=0 \)

Klassifizieren Sie effizient die dreidimensionale Quadrik in Abhängigkeit des Parameters \( \alpha \in \mathbb{R} \).

Hinweis: In dieser Aufgabe ist es aufgrund der Gestalt von \( p \) möglich, nach Berechnung der Eigenwerte ohne explizite Bestimmung von Eigenvektoren die Quadrik in der Darstellung \( p(B \cdot \overrightarrow{\tilde{x}})=0 \) anzugeben und auf den Typ der Normalform zu schließen! Die Transformationsmatrix \( B \) muss hier also nicht explizit berechnet werden!

Problem/Ansatz:

Das berechnen der Eigenwerte wäre kein Problem, aber wie macht man das mit einer Konstanten alpha? Bekomme da ein Polynom raus mit dem ich dann nicht viel anfangen kann (Polynomdivision, Nullstellen berechnen etc.)

Answer 1

Wenn Du auf Oberedreicksform gehst

{{-λ + 1, 0, 0}, {0, α - λ - 1, -α + 1}+ {0, -α + 1, α - λ - 1}, {0, -α + 1, α - λ - 1}}

{{-λ + 1, 0, 0}, {0, -λ, -λ}, {0, -α + 1, α - λ - 1}+{0, -λ, -λ}(1-α)/λ}

\(\small \left(\begin{array}{rrr}-\lambda + 1&0&0\\0&-\lambda&-\lambda\\0&0&2 \; \alpha - \lambda - 2\\\end{array}\right)\)

fallen dir die Linearfaktoren in die Hände.

Es ist ein hyperbolisches Paraboloid α<=0.