Monotonie einer Funktion.

Question

Aufgabe: Gegeben sei f(x) = (x+9)/(3-x)^2, wobei nur das Intervall [-27, 3[ betrachtet wird.

Die Funktion konnte ich selbst ableiten:

f′(x) = (x+21)/(-x+3)^3

Dann wurde nach der kritischen Stelle gefragt, was in diesem Fall -21 sein sollte. (Also sollte -21 ein Extremum sein, richtig?)

Und jetzt wird gefragt in welchem Intervall f(x) streng monoton fallend und streng monoton wachsend sei...

Wie gehe ich hier am besten vor? Beim Einsetzen aller x aus dem Definitionsbereich [-27,3[ steigen die Y Werte nur, wobei es doch an x= -21 ein Vorzeichenwechsel geben sollte, oder?

Kann mir jemand bitte weiterhelfen?

Answer 1

\(f(x) =\frac{x+9}{(3-x)^2}\)  mit \([-27, 3[\)

\(f'(x) =\frac{(3-x)^2-(x+9)\cdot 2\cdot(3-x)\cdot(-1)}{(3-x)^4}\\=\frac{(3-x)+(x+9)\cdot 2}{(3-x)^3}\)

\(\frac{x+21}{(3-x)^3}=0  \)

\(x=-21  \)

\(f''(x)=\frac{(3-x)^3-(x+21) \cdot 3\cdot (3-x)^2 \cdot (-1)}{(3-x)^6}\\=\frac{(3-x)^3+(x+21) \cdot 3\cdot (3-x)^2}{(3-x)^6}\\=\frac{(3-x)+(x+21) \cdot 3}{(3-x)^6}\\=\frac{72}{(3-x)^6}\)

\(f''(-21)=\frac{72}{24^6}=\frac{1}{2654208}>0\) → Minimum

Answer 2

Beim Einsetzen aller x aus dem Definitionsbereich [-27,3[ steigen die Y Werte nur,

Nein. Was steigt, sind die Ableitungswerte.

Answer 3

(Also sollte -21 ein Extremum sein, richtig?)

Könnte auch ein Sattelpunkt sein. Die Bedingung ist nur notwendig.