Ist das richtig? (Kurvendiskussion, Ableitung, Nullstellen)

Question

Aufgabe:

Gegeben: f(x)=\( \frac{x+9}{(4-x)^2} \) auf [-28,4)

f ' (x)= -\( \frac{x+22}{(x-4)^3} \)

X0 = -9 ist die einzige kritische Stelle von f.

Die Funktion ist aif (∞,-22] streng monoton fallend und auf [-22,∞) streng monoton wachsend.

Daher hat die Funktion in X0 ein lokales, aber nicht globales Minimum mit f(x0)=0.

Die Funktion hat ein lokales Minimum bei x=-28 und ein lokales Maximum bei x=4.

Ist das alles richtig?

Answer 1

X0 = -9 ist die einzige kritische Stelle von f.

1. Das ist eine Nullstelle und keine kritische Stelle.

Die Funktion ist aif (∞,-22] streng monoton fallend und auf [-22,∞) streng monoton wachsend.

Die Funktion ist auf dem Großteil der angegebenen Bereiche gar nicht definiert. Du meinst aber das Richtige. Sei hier bitte präzise.

Daher hat die Funktion in X0 ein lokales, aber nicht globales Minimum mit f(x0)=0

Widerspruch zur Monotonie, also nix "daher". Oder ist X0 jetzt was anderes?

Die Funktion hat ein lokales Minimum bei x=-28 und ein lokales Maximum bei x=4.

Ebenfalls Widerspruch zur Monotonie. Warum nicht global? Und ein Maximum existiert nicht.

Comments

ist -22 der kritische punkt?

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monoton wachsend auf [-22,4) und monoton fallend auf (-28,-22]?

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Besser, -28 eingeschlossen.

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Hat die Funktion nicht in X0= -22 ein lokales, aber nicht globales Minimum? Weil die Randpunkte -28 und 4 sind ja globale Extremstellen? Und die Funktionswerte fallen ja ab -22 noch, sodass es noch "kleinere" Funktionwerte gibt.?

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Das widerspricht doch der Monotonie. Wo wird es denn bitte kleiner? Und warum sollten die Randwerte global sein?

Ich habe den Eindruck, dass die Begriffe nicht klar sind.

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ich dachte, dass die Randpunkte global sind, weil die funktion ja auf das intervall beschränkt ist und 4, der größt mögliche x wertr ist, der angenommen werden kann

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Kann er nicht.

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ich habs mir nochmal angeschaut und habe jetzt das raus:

Geg.: f(x)=\( \frac{x+9}{(4-x)^2} \) auf [-28,4)

Ges.:

1. Ableitung: f ' (x)= -\( \frac{x+22}{(x-4)^3} \)

Also ist X0= -22

Die Funktion ist auf [-28,-22] monoton fallend und auf [-22,4) monoton wachsend.

Daher hat die Funktion in X0 ein lokales und globales Minimum mit f(X0)= -\( \frac{1}{52} \)

Die Funktion hat ein lokales Minimum bei x=-28

Ist das richtig...?

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Daher hat die Funktion in X0 ein lokales und globales Minimum mit f(X0)= -\( \frac{1}{52} \)Die Funktion hat ein lokales Minimum bei x=-28

Überlege mal selbst.

Answer 2

\(f(x)= \frac{x+9}{(4-x)^2} \) auf \([-28,4)\)

\(f'(x)= \frac{(4-x)^2-(x+9) \cdot 2 \cdot  (4-x)\cdot(-1)}{(4-x)^4}\\=\frac{x+22  }{(4-x)^3} \)

\(\frac{x+22  }{(4-x)^3}=0 \)

\(x=-22 \)

\(f''(x)=\frac{(4-x)^3-(x+22)\cdot3\cdot(4-x)^2\cdot(-1) }{(4-x)^6}\\=\frac{2x+70 }{(4-x)^4}\\ \)

\(f''(-22)=\frac{26 }{26^4}=\frac{1}{17576}>0 \)  → Minimum