Gleichungssystem mit lambda. Produktionsfunktion maximieren

Question

1. 2r1^-0,5*r2^0,6 -4 lambda=0

2. 2,4r1^0,5*r2^-0,4-3 lambda=0

3. 120 - 4r1 - 3r2 =0

Problem/Ansatz:Ich weiß dass ich die ersten beiden Gleichungen zum Beispiel im Additionsverfahren verrechnen muss und dann nach zum Beispiel \(r_1\) freistellen muss um weiter zu machen. Aber ich komme einfach nicht auf die Lösung. Mein Ergebnis ist nie das was in der Lösung vorgegeben ist. Ich bin wirklich dankbar für jede Hilfe.

Comments

Dann liefere deine Rechnung.

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Bringe lambda nach rechts und dividiere die 2. durch die 1. Gleichung.

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Du hast die Gleichungen einigermaßen unverständlich hingeschrieben. Es ist nicht überall klar, was tief- und was hochgestellt sein sollte, aber nicht ist.

Wie lautet die Produktionsfunktion, und wie lautet die Nebenbedingung (irgendetwas mit Budgetrestriktion 120 wahrscheinlich)?

Wenn das Problem lauten würde

\( \displaystyle \text{max} \quad 4\cdot r_1^{\;0,5}\cdot r_2^{\;0,6} \quad\text{s.t.}\quad 4r_1+3r_2=120 \)

dann solltest Du es auch so schreiben. Habe ich richtig geraten?

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Vielen Dank!

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Vielen Dank!

... ist ja nicht wirklich eine Antwort auf die Fragen, die andere Benutzer Dir gestellt haben.

Answer 1

1.)\(2r_1^{-0,5}*r_2^{0,6}=4λ\)

2.)\(2,4r_1^{0,5}*r_2^{-0,4}=3λ\)
3.)\(120-4r_1-3r_2=0\)

"Kommentiert vor 1 Stunde von ggT22:  \( \frac{2.)}{1.)} \)"

\( \frac{2,4r_1^{0,5}*r_2^{-0,4}}{2r_1^{-0,5}*r_2^{0,6}}=\frac{3λ}{4λ} \)

Einschub:

\( \frac{r_1^{0,5}}{r_1^{-0,5}}=r_1^{0,5}*r_1^{0,5} =r_1\)       \(  \)

\( \frac{r_2^{-0,4}}{r_2^{0,6}}=r_2^{-0,4}*r_2^{-0,6}= r_2^{-1}=\frac{1}{r_2}\)

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Vielen lieben Dank!

Answer 2

Ich benutze mal x und y statt r1 und r2. Würde ich auch empfehlen.

2·x^(-0.5)·y^0.6 - 4·λ = 0 --> λ = 0.5·x^(-0.5)·y^0.6

Setze das in die zweite Gleichung für λ ein

2.4·x^0.5·y^(-0.4) - 3·0.5·x^(-0.5)·y^0.6 = 0

2.4·x^0.5·y^(-0.4) = 3·0.5·x^(-0.5)·y^0.6

x^0.5·y^(-0.4)·x^(0.5)·y^(-0.6) = 1.5/2.4

x/y = 5/8

8x = 5y

y = 1.6·x

Setze das jetzt in die dritte Gleichung ein

120 - 4·x - 3·(1.6·x) = 0

120 - 8.8·x = 0

120 = 8.8·x

x = 120/8.8 = 150/11

Jetzt auch y ausrechnen

y = 1.6·(150/11) = 240/11

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Vielen, vielen Dank das hilft mir sehr weiter!! Schöne Weihnachten.