Stetigkeit von Integralfunktion zeigen

Question

Sei \((\mathbb{R}, B(\mathbb{R}), \lambda)\) ein Maßraum.

Im folgenden steht "1" für die charakteristische Funktion.

Ich möchte für \(u \in L^1\) nachweisen, dass \(V(x) = \int_{(-\infty,x)} u(t) \, \lambda(dt)\) stetig ist für alle \(x \in \mathbb{R}\).
Dazu will ich zeigen:

(a) \(t \mapsto u(x,t) \in L^1\) für alle \(x \in \mathbb{R}\) fest.
(b) \(x \mapsto u(x,t)\) ist stetig für alle \(t \in \mathbb{R}\) fest.
(c) \(|u(x,t)| \leq w(x)\) für alle \(x, t \in \mathbb{R}\) und ein \(w \in L^1\).

Ist es ok, dazu \(\int u(x,t) \, \lambda(dt) := \int_{(-\infty,x)} u(t) \, \lambda(dt)\) zu definieren?
... Und damit (a)-(c) zu zeigen?

Oder muss ich unbedingt \(\int_{(-\infty,x)} u(t) \, \lambda(dt) = \int (u \cdot 1_{(-\infty,x)})(t) \, \lambda(dt)\) nehmen und (a)-(c) für \(u \cdot 1_{(-\infty,x)}\) zeigen?

P.s. Zeigen kann ich das selbst. Mich interessiert, ob die eine oder andere Vorgehensweise (nicht) richtig ist.

Answer 1

Mir ist es unklar, wieso du (a)-(c) überhaupt zeigen willst.

Ich zeige erst einmal einen direkten Weg per majorisierter Konvergenz und gehe danach auf deinen Aufschrieb ein:

Wir nehmen eine beliebige Folge \(x_n\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}x\) und setzten

\(u_n(t) := u(t) \cdot 1_{(-\infty,x_n)}(t)\)

Dann gilt offenbar

\(u_n(t) \stackrel{\lambda-f.ü.}{\longrightarrow}u(t)\cdot 1_{(-\infty,x)}(t)\)

Außerdem gilt

\(\left|u_n(t)\right| \leq |u(t)|\)

Damit folgt per majorisierter Konvergenz sofort:

\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}V(x_n) = \int_{\mathbb R}u(t)\cdot 1_{(-\infty,x)}(t)\, \lambda(dt) = \int_{(-\infty,x)}u(t)\, \lambda(dt) = V(x)\).

Damit ist \(V(x)\) stetig.

Zu deinem Aufschrieb:

Zunächst ist es ungünstig, zwei verschiedene Funktionen mit demselben Funktionsnamen \(u\) zu bezeichnen.

Weiterhin definierst du erst nach Aufzählung der zu zeigenden Eigenschaften (a)-(c), was eigentlich \(u(x,t)\) sein soll.

Jetzt kommt aber ein ernsthaftes Problem:

Du definierst die Funktion \(u(x,t)\) über ihr Verhalten innerhalb eines Integrals. Gleichzeitig willst du in (b) zeigen, dass \(x \mapsto u(x,t)\) stetig in \(t\) ist, was aufgrund der Definition via Integral gar nicht ohne Weiteres möglich ist, denn wenn wir so ein \(u\) hätten, könnten wir \(u\) auf einer Menge vom Maß Null beliebig abändern, ohne das Integral zu verändern.

Du müsstest also sogar zeigen, dass es ein solches stetiges \(u(x,t)\) überhaupt gibt.

Comments

Hallo trancelocation,

ich danke dir! Das war schon sehr hilfreich. Jedoch verstehe ich die Begründung: "denn wenn wir so ein \(u\) hätten, könnten wir \(u\) auf einer Menge vom Maß Null beliebig abändern, ohne das Integral zu verändern" nicht so ganz.

Was genau meinst du mit "Integral verändern"? Im Moment verstehe ich es so, dass du meinst, dass ich u auf einer Nullmenge abändern kann und sich DER WERT des Integrals nicht verändert. Das ist aber richtig, also gehe ich davon aus, du meinst mit "Integral verändern" etwas anderes. (?) Bitte erkläre mir das genauer.

Dass das Definieren der Funktion allein über ein Verhalten im Integral ein Problem ist, sehe ich nun insofern, als dass es nicht eindeutig ist und beliebige Funktionen mit diesem Integralwert infrage kommen, die ggf. z.B. nicht stetig sein müssen, somit ergibt sich das Problem die Stetigkeit nachzuweisen. Ist es vielleicht das, was du meinst?

P.s. Ich wollte (a)-(c) nachweisen, da wir das gerade als "Stetigkeitslemma" behandelt hatten und ansonsten bisher keine Sätze zur Stetigkeit in diesem Zusammenhang hatten. Es erschien mir passend. Dein Weg über die Konvergenz ist allerdings super.

---

Jedoch verstehe ich die Begründung: "denn wenn wir so ein \(u\) hätten, könnten wir \(u\) auf einer Menge vom Maß Null beliebig abändern, ohne das Integral zu verändern" nicht so ganz.

Was genau meinst du mit "Integral verändern"? Im Moment verstehe ich es so, dass du meinst, dass ich u auf einer Nullmenge abändern kann und sich DER WERT des Integrals nicht verändert.

Bevor ich auf den eben zitierten Teil eingehe, zitiere ich noch einmal, wie du dein \(u(x,t)\) "definiert" hast:

Ist es ok, dazu \(\int u(x,t) \, \lambda(dt) := \int_{(-\infty,x)} u(t) \, \lambda(dt)\) zu definieren?

Dieses Integral hat nicht nur einen Wert, sondern liefert - wenn man genau hinschaut - eine Funktion in \(x\).

Der Begriff Integral kann in der Maß- und Integrationstheorie je nach Zusammenhang verschiedenes bedeuten: zum Beispiel eine Zahl (also ein konkreter Wert), eine Funktion (bei parameterabhängigen Integralen) oder ein lineares Funktional auf einen Funktionenraum (in der Funktionalanalysis).

Im vorliegenden Zusammenhang möchtest du

\(V(x) = \int u(x,t) \, \lambda(dt)\)

Für jedes beliebige, aber feste \(x\) ist - um in deiner Sprechweise zu bleiben - \(V(x)\) der WERT des vorliegenden Integrals.

Und wie du selbst schon festgestellt hast, ist für kein einziges \(x\) die Funktion \(u(x,t)\) durch deine "Integraldefinition" eindeutig definiert und die Stetigkeit in \(t\) brauch hier für kein einziges \(x\) vorliegen.

Nun zu deiner letzten Frage:

... die ggf. z.B. nicht stetig sein müssen, somit ergibt sich das Problem die Stetigkeit nachzuweisen. Ist es vielleicht das, was du meinst?

Lies nochmal den letzten Satz in meiner Antwort.