Text erkannt:
Also ist die Ungleichung \( \frac{2^{n}}{n !} \leq \frac{4}{n} \) zu zeigen.
Beweis: (Vollständige Induktion für \( \forall n \in \mathbb{M} \) )
- Induktionsanfang für \( n=1: \frac{2^{1}}{1 !}=\frac{2}{1}=2<4=\frac{4}{1} \)
- Induktionsschluss:
Es gelte folgende Implikation:
\( \underbrace{\text { Gelte } \frac{2^{n}}{n !} \leqslant \frac{4}{n}}_{\text {Voraussehung }} \Longrightarrow \frac{2^{n+1}}{(n+1) !} \leqslant \frac{4}{n+1} \)
\( \frac{2^{n+1}}{(n+1) !}=\frac{2^{n} \cdot 2}{n !(n+1)}=\frac{2^{n}}{n !} \cdot \frac{2}{n+1} \leq \frac{4}{n} \frac{2}{n+1} \leqslant \ldots \leqslant \frac{4}{n+1} \)
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Hallo ich hätte noch eine Frage:
Ich sollte eine Induktion durchführen um die obige Ungleichung zu zeigen. Nur ist das Problem, nach meiner Vereinfachung im Induktionsschritt und der Einsetzung der Induktionsvoraussetzung, gilt diese Ungleichung nicht i.A., d.h. für n = 1 ist es z.B. falsch. Habe ich da ein Fehler bei der Vereinfachung gemacht?
Das Problem wo es für n = 1 nicht gilt, ist die Ungleichung: 4/n * 2/(n+1) ≤ 4/(n+1)
