Geben Sie den Wert der jeweiligen linearen Abbildung an der Stelle v = (a, b, c) ∈ R^3 an

Question

Hallo liebe Community,

ich habe Probleme mit der unten angegebenen Aufgabe.

Aufgabe:

(a) Zeigen Sie, dass A := (v1, v2, v3) und B := (w1, w2, w3) zwei Basen des R^3 sind, wobei
(i) v1 = (1, 1, 1), v2 = (0, 2, 3), v3 = (0, 2, −1);
(ii) w1 = (0, 1, 0), w2 = (1, 0, 0), w3 = (0, 0, 1).
Geben Sie die eindeutigen Darstellungen von v = (a, b, c) ∈ R^3 als Linearkombination der
Vektoren aus A bzw. B an. Was ergibt sich für v = (3, 5, −2)? Benutzen Sie dabei die Methoden
aus der Vorlesung, um ein lineares Gleichungssystem zu lösen.

Geben Sie den Wert der jeweiligen linearen Abbildung an der Stelle v = (a, b, c) ∈ R^3 an,
für die gilt:
(i) F (v1) = (1, 0), F (v2) = (1, 1), F (v3) = (0, 2), F : R^3 → R^2.
(ii) G(w1) = (0, 1, 1, 0), G(w2) = (1, 2, 0, 0), G(w3) = (0, 0, 1, 1), G : R^3 → R^4.
Hinweis: Verwenden Sie (a).

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz:

a) Ich habe die Vektoren von A und B in die reduzierte Zeilenstufenform gebracht um damit nachzuweisen, dass die Vektoren linear unabhängig voneinander sind, weil ich für beide jeweils ((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)) heraus habe und damit die einzige Lösung für c1v1+c2v2+c3v3=0 c1=c2=c3=0 ist. Somit lässt es sich für v=(3,5,-2) leicht lösen.

Mein Problem liegt bei der Aufgabe b, weil ich die Fragestellung überhaupt nicht verstehe. Ich verstehe leider nicht welcher Rechenvorschrift die Abbildung F folgt und was für v angegeben werden soll.

Mir würde es auch reichen wenn jemand mir sagen könnte wonach ich suchen sollte z.B. irgendwelche spezifischen Begriffe, Sätze oder Definitionen die mir weiterhelfen könnten. Ich habe auch schon Kommilitonen gefragt und die konnten mir leider auch keine Anhaltspunkte liefern, da sie genauso überfragt sind wie ich. Ich habe google benutzt um ähnliche Antworten zu finden, bin aber leider auf nichts gestoßen. Im Skript konnte ich zu dieser Aufgabenstellung leider auch nichts finden.

Ich wäre dankbar wenn mir jemand Ansätze nennen könnte wie die Aufgabe b) zu lösen oder zu verstehen ist.

Liebe Grüße

Shoto

Answer 1

Solche Aufgaben kann man gut mithilfe von Matrizen lösen. Man muss sich nur ein für allemal klarmachen, wie man die Matrixdarstellung einer linearen Abbildung erhält und wie sich die Koordinaten eines Vektors bei Basiswechsel transformieren.

Außerdem können Abbildungsdiagramme helfen, um einen klaren Kopf zu bewahren (s.u.).

Im Weiteren benutze ich folgende Bezeichnungen:

\(E =\{e_1, e_2, e_3\}\) - Standardbasis im \(\mathbb R^3\) mit \(e^1 =\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\) usw.

\(v_A,v_E\) - Koordinatenvektor von \(v\) in Basis A bzw. E etc. Damit ist also im Sinne deiner Aufgabe

\(v_E = \begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix}\) und gesucht ist \(v_A\).

Wenn du die Basisvektoren von A als Spalten in eine Matrix \(I_A\) schreibst, erhältst du

\(I_A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 3 & -1 \end{pmatrix}\)

(a) (i):

Mit den obigen Bezeichnungen gilt: $$I_A v_A = v_E\Leftrightarrow v_A = (I_A)^{-1}v_E$$

Ich würde empfehlen, die Inverse \((I_A)^{-1}\) direkt zu berechnen, statt ein LGS mit dem allgemeinen Vektor \(v_E = \begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix}\) auf der rechten Seite zu lösen:

\((I_A)^{-1} = \frac 18\begin{pmatrix} 8 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 2 \\ -1 & 3 & -2 \end{pmatrix}\)

Die Lösung zu (a)(i) ist somit

\(\boxed{v_A = \frac 18\begin{pmatrix} 8 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 2 \\ -1 & 3 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix}}\).

(b)(i):

Gegeben sind die Bildvektoren von \(F\) auf der Basis A. Beachte, dass für die Koordinaten von \(v_1,v_2,v_3\) in der Basis A gilt:

\((v_1)_A = \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}_A, (v_2)_A = \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}_A, (v_3)_A = \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}_A\)

Die Bildvektoren von \(F\) sind in der Standardbasis \(E_2\) im \(\mathbb R^2\) gegeben.

Damit ergibt sich die Koordinatendarstellung von F mit der Ausgangsbasis A und der Zielbasis \(E_2\):

\(F_{E_2 \leftarrow A} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}\)

Die Bildvektoren \(F(v_i)\) sind also die Spalten dieser Matrix.

Gesucht ist nun \(F_{E_2 \leftarrow {\color{blue}E}}v_E\).

Jetzt hilft ein Pfeildiagramm, um sich das zu verdeutlichen:

$$\begin{array}{rcl}\mathbb R^3, A & \stackrel{F_{E_2 \leftarrow A} }{\longrightarrow} & \mathbb R^2, E_2 \\ && \\ I_A\downarrow   & {\Large \nearrow} {\footnotesize F_{E_2 \leftarrow {\color{blue}E}}} &  \\ &  &   \\ \mathbb R^3, E &  & \end{array}$$

Die Lösung zu (b)(i) ist somit

\(\boxed{F_{E_2 \leftarrow A}(I_A)^{-1}v_E = \frac 18 \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 8 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 2 \\ -1 & 3 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix}}\)

Das Matrixprodukt darfst du gern selber ausrechnen (lassen).

Analog verfährst du mit (ii), was deutlich weniger rechenaufwändig ist.

Answer 2

Es geht ja wohl um:

F (v1) = (1, 0), F (v2) = (1, 1), F (v3) = (0, 2)

und gesucht F(a,b,c).

Benutze doch: Geben Sie die eindeutigen Darstellungen von v =∈ R3 als Linearkombination der Vektoren aus A aus Teil a).

Da hast du ja sowas berechnet wie

(a, b, c) =   X *v1 + Y*v2+ Z*v3 und die X,Y,Z

sind irgendwelche von a,b,c abhängigen Terme.

Dann hast du F(a, b, c) =  F (   X *v1 + Y*v2+ Z*v3)

und verwende nun die Linearität von F

               =  F (  X *v1  )  + F (Y*v2) + F( Z*v3)

                 =  X*F (  v1  )  + Y*F (v2) +Z* F( v3)

                =  X*(1,0)  + Y*(1,1) +Z* (0,2)