Es gibt da einen Trick, der auf folgender trigonometrischer Formel beruht:
\(\cos(a-b) - \cos(a+b) = 2\sin a \sin b \quad (1)\)
Jetzt bringst du \(\sin \frac y2 \) auf die linke Seite und atmest tief durch:
\(\displaystyle \sin \frac y2 \sum_{k=0}^n\sin (x+ky) \)
\(\displaystyle \stackrel{(1)}{=}\frac 12\sum_{k=0}^n(\cos(x+(k-\frac 12)y) - \cos(x+(k+\frac 12)y)) = \ldots\)
Das ist aber eine Teleskopsumme und es bleibt übrig
\(\displaystyle \ldots = \frac 12 ( \cos(x-\frac 12 y) - \cos(x+(n+\frac 12)y)) =\ldots \)
Jetzt wenden wir wieder (1) an - aber von links nach rechts - setze dazu
\(a-b = x-\frac 12 y\) und \(a+b = x+(n+\frac 12)y\)
und bestimme \(a,b\):
\(\displaystyle \ldots = \sin(x+\frac n2 y)\sin(\frac{n+1}2 y)\)
Damit sind wir fertig.
