Question

Überbestimmtes lineares Gleichungssystem lösen:

\( 2 x-2 y=10-2 z \\ \begin{aligned} 4 z-4 x &=2-6 y \\ z &=3 x-4 y-4 \\ 5-z &=x-y \end{aligned} \)

Kann mir jemand dieses LGS mit Erklärungen und Tipps lösen?

Ich habe schon mehrere Ansätze.

Bei einem Ansatz sind die Gleichungen II und III identisch und und Gleichung IV ist -4y=0. Ich wüsste jetzt gar nicht wie ich weitermachen sollte.

Bei einem anderen Ansatz ist die Gleichung IV eine Nullzeile und die Gleichung III ist 16z=22, was bedeuten würde, dass es ein Widerspruch ist, da ich z mit einer Konstanten c ersetzen müsste/könnte, was dann 16c=22 sein würde (Widerspruch).

Answer 1

$$\left( { \begin{matrix} 2 & -2 & 2 \\ -4 & 6 & 4 \\ -3 & 4 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \end{matrix} }|{ \begin{matrix} 10 \\ 2 \\ -4 \\ -5 \end{matrix} } \right)$$letzte Zeile * (-3) + vorletzte Zeile:$$\left( { \begin{matrix} 2 & -2 & 2 \\ -4 & 6 & 4 \\ -3 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & 4 \end{matrix} }|{ \begin{matrix} 10 \\ 2 \\ -4 \\ 11 \end{matrix} } \right)$$Zeilenvertauschungen (vereinfacht das weitere Vorgehen): 3.Zeile->1.Zeile,1.Zeile->2.Zeile,2.Zeile->3.Zeile:$$\left( { \begin{matrix} -3 & 4 & 1 \\ 2 & -2 & 2 \\ -4 & 6 & 4 \\ 0 & 1 & 4 \end{matrix} }|{ \begin{matrix} -4 \\ 10 \\ 2 \\ 11 \end{matrix} } \right)$$3.Zeile + 2 * 2.Zeile$$\left( { \begin{matrix} -3 & 4 & 1 \\ 2 & -2 & 2 \\ 0 & 2 & 8 \\ 0 & 1 & 4 \end{matrix} }|{ \begin{matrix} -4 \\ 10 \\ 22 \\ 11 \end{matrix} } \right)$$2 * 4.Zeile -3.Zeile$$\left( { \begin{matrix} -3 & 4 & 1 \\ 2 & -2 & 2 \\ 0 & 2 & 8 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} }|{ \begin{matrix} -4 \\ 10 \\ 22 \\ 0 \end{matrix} } \right)$$4.Zeile entfällt, 3 * 2.Zeile + 2 * 1.Zeile:$$\left( { \begin{matrix} -3 & 4 & 1 \\ 0 & 2 & 8 \\ 0 & 2 & 8 \end{matrix} }|{ \begin{matrix} -4 \\ 22 \\ 22 \end{matrix} } \right)$$3.Zeile - 2.Zeile:$$\left( { \begin{matrix} -3 & 4 & 1 \\ 0 & 2 & 8 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} }|{ \begin{matrix} -4 \\ 22 \\ 0 \end{matrix} } \right)$$3.Zeile entfällt, 2.Zeile : 2 $$\left( { \begin{matrix} -3 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & 4 \end{matrix} }|{ \begin{matrix} -4 \\ 11 \end{matrix} } \right)$$Daraus ergeben sich nun die Gleichungen:$$y+4z=11$$$$\Leftrightarrow y=11-4z$$und:$$-3x+4y+z=-4$$$$\Leftrightarrow 3x=4y+z+4=4(11-4z)+z+4=48-15z$$$$\Leftrightarrow x=16-5z$$z beliebig wählbar, z.B. z=3, dann Lösung:$$x=16 - 5 * 3 = 1$$$$y=11-4*3=-1$$$$z=3$$

Answer 2

Wir bringen es auf Normalform

2·x - 2·y + 2·z = 10
4·x - 6·y - 4·z = -2
3·x - 4·y - z = 4
x - y + z = 5

I - 2*IV, II - 4*IV, III - 3*IV

0 = 0
- 2·y - 8·z = -22
-y - 4·z = -11

Auch die zweite ist von der dritten Zeile abhängig.

-y - 4·z = -11
y = 11 - 4·z

Und jetzt noch x ausrechnen

x - y + z = 5
x - (11 - 4·z) + z = 5
x = 16 - 5·z

Damit ist der Lösung

x = 16 - 5·z
y = 11 - 4·z
z = z | Ein Freiheitsgrad