Aufgabe:
Text erkannt:
11.2 Es seien \( U, W \leq \mathbb{R}^{4} \) mit
\( U=\left\langle\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right)\right\rangle, W=\left\langle\left(\begin{array}{c} -3 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right)\right\rangle . \)
(a) Geben Sie je zwei verschiedene Elemente aus \( U, W, U \cap W \) und \( U+W \) an.
(b) Geben Sie ein endliches Erzeugendensystem von \( U+W \) an.
(c) Geben Sie ein endliches Erzeugendensystem von \( U \cap W \) an.
(Hinweis: Ein endliches Erzeugendensystem ist ein Erzeugendensystem mit endlich vielen Elementen)
\( (1+1+3 \) Punkte)
Problem/Ansatz
Zu a) Elemente aus U und W sind logisch. Da kann man ja einfach beide Vektoren nehmen die im Erzeugnis stehen. Aber beim Schnitt und der Summe habe ich bisschen Probleme. Natürlich sind in beiden die Nullvektoren drinnen aber wie kann ich jeweils einen weiteren Vektor bestimmen?
Zu b und c) eigentlich müssten die erzeugendensysteme ja so aussehen: für U+W = α(1,2,3,1) + β(2,1,2,1) +γ(-3,0,0,1) + δ (1,-1,0,2) oder?
Aber wie wäre das dann für U ∩ W (also für c)
