Beweis von endlichen Erzeugnissen und unendliche Erzeugendensysteme

Question

Aufgabe:

a) Beweisen sie , dass M₂ endlich erzeugt ist

b) Geben Sie außerdem noch ein unendliches Erzeugendensystem von M₂ an

Text erkannt:

Seien \( n \geq 2, \mathbb{K} \) ein Körper und \( \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n} \in \mathbb{K} \). Beweisen oder widerlegen Sie, dass die folgenden Mengen Unterräume des Vektorraums \( \mathbb{K}^{n} \) sind:
(a) \( M_{1}:=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) \in \mathbb{K}^{n} \mid \sum \limits_{i=1}^{n} \alpha_{i} x_{i}=1\right\} \),
(b) \( M_{2}:=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) \in \mathbb{K}^{n} \mid \sum \limits_{i=1}^{n} \alpha_{i} x_{i}=0\right\} \),
(c) \( M_{3}:=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) \in \mathbb{K}^{n} \mid x_{1} \cdot x_{2}=0\right\} \).
(d) Sei nun \( \mathbb{K}=\mathbb{R} \) und \( M_{4}:=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n} \mid \sum \limits_{i=1}^{n-1} x_{i} \geq x_{n}\right\} \).

Problem/Ansatz:

Ich habe leider keine Idee bzw. Keinen Ansatz wie ich beweisen kann, dass eine Menge endlich erzeugt werden kann, kann mir da jemand bei weiterhelfen? Und wie kann ich bei b ein unendliches erzeugendensystem angeben? Ist das wie bei endlichen ?

Comments

Dein Text passt nicht zum Aufgabentext?

Answer 1

zu a) Sei K=ℝ   und n=2.  Betrachte ein Element x=(x1,x2)  aus M1, dann gilt dafür

Es gibt a1, a2 aus ℝ mit a1x1+a2x2=1.

Wäre M1 ein Unterraum von ℝ^2 dann müsste auch 2*x in M1 sein.

Aber für 2*x = (2x1,2x2)  gilt a1*2*x1+a2*2*x2=2 ≠ 1. Also M1 kein Unterraum.

Bei b) ist es aber einer, zeige, dass es gegenüber + und Multiplikation mit

Körperelementen abgeschlossen ist, und zu jedem x auch -x in M2 ist.

c) M3 ist wieder keiner, betrachte die Elemente (0,1, ....)  und (1,0,.....).

sind beide drin, aber ihre Summe nicht.

Comments

vielen dank für deine Antwort aber es geht nicht um die Aufgabenstellung aus dem Bild sondern um die Fragen, die ich darüber geschrieben habe (die andere Aufgabe habe ich schon)

Das heißt, dass ich für die Menge M2  beweisen soll, dass diese Endlich erzeugbar ist und dass ich ein unendliches Erzeugendensystem von M2 angeben soll.

Also dabei brauche ich hilfe.

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Ist ja nichts Neues hier, dass Fragen nicht gelesen werden und man nicht auf explizit auf die Fragen des FS eingeht. Allerdings passt das Bild auch gar nicht zu deinen Fragen...

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Also die richtige Aufgabe ist diese hier:

Text erkannt:

11.3 a) Beweisen Sie, dass \( M_{2} \) aus Aufgabe 10.4 (b) endlich erzeugt ist.
b) Geben Sie außerdem noch ein unendliches Erzeugendensystem von \( M_{2} \) an.
\( (3+1 \text { Punkte) } \)

Diese hatte ich als Text geschrieben , da die Menge ja nicht in der Aufgabenstellung ist. Damit man aber auch die Menge kennt habe ich halt die Aufgabe genommen auf die sie sich bezieht, dam7t man d7e wesentlichen Informationen hat.