Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die beiden gezogenen Kugeln dieselbe Farbe haben

Question

Aufgabe:

eine Urne erhält drei rote und drei schwarze Kugeln. Es wird eine Kugel zufällig gezogen. Diese wird wieder zurückgelegt und es werden k weitere Kugeln der selben Farbe in die Urne gelegt dann wird erneut eine Kugel zufällig gezogen.

a) Zunächst k = 3.  berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die beiden gezogenen Kugeln dieselbe Farbe haben.

b) Zeigen Sie: Die Wahrscheinlichkeit dafür, im zweiten Zug eine rote Kugel zu ziehen, ist unabhängig von k.

Answer 1

a)

P(rr, ss) = 2·3/6·6/9 = 2/3

b)

P(rr, sr) = 3/6·(3 + k)/(6 + k) + 3/6·3/(6 + k) = 1/2

Answer 2

Die 1. Kugel kann rot oder schwarz sein. p= 1/2

a) 1.Kugel ist schwarz -> es werden 3 schwarze hinzugefügt, sodass 3+3 = 6 schwarze in der Urne mit 9 Kugeln liegen

-> P(ss) = 1/2*6/9 = 6/18 = 1/3 = 33 1/3 %

Dasselbe gilt für P(rr).

-> Gesamt-WKT= 2*1/3 = 2/3 = 66 2/3 %

b) P(sr) = 1/2*3/(6+k)

P(rr) = 1/2*(3+k)/(6+k)

addieren, HN= 6+k

P(rr,sr)= 1/2*(3+3+k)/(6+k) = 1/2*(6+k)/(6+k) = 1/2 = P(r)