Zeigen Sie, dass die absolute Konvergenz von∑ ∞=1 die Konvergenz von ∑1/*||^(1/4) ∞=1 impliziert.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die absolute Konvergenz von \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} a_{n} \) die Konvergenz von \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\left|a_{n}\right|^{\frac{1}{4}} \) impliziert.

Problem/Ansatz:

ich hatte die Idee, dass über das Majoranten Kriterium zu lösen, weil 1/n die folge ja kleiner macht und die vierte wurzel meistens ja auch, aber dabei bin ich auf das problem gestoßen, dass wenn an < 1 ist, dass dann dass kriterium nicht mehr gilt, weil die vierte wurzel die Folge wieder größer macht. Ist der ansatz richtig und wenn ja wie kann ich mein Problem lösen oder bin ich auf dem Holzweg?

Danke schonmal für jede antwort

Answer 1

Das Majorantenkriterium zu nutzen, ist eine gute Idee.

Du benötigst aber eine Ungleichung für Summen, die aus \(|a_n|^{\frac 14}\) irgendwie \(|a_n|\) macht. Und diese Ungleichung gibt es - die Hölder-Ungleichung:

Für \(1\leq p,q\leq \infty\) mit \(\frac 1p + \frac 1q = 1\) gilt

\(\displaystyle \sum_{n=1}^N|x_ny_n| \leq \left(\sum_{n=1}^N|x_n|^p\right)^{\frac 1p}\left(\sum_{n=1}^N|y_n|^q\right)^{\frac 1q}\)

Das wenden wir jetzt auf deine Reihe an mit

\(\frac 1p = \frac 34\) und \(\frac 1q = \frac 14\), sowie \(x_n = \frac 1n\) und \(y_n = |a_n|^{\frac 14}\):

\(\displaystyle \sum_{n=1}^N\frac 1n |a_n|^{\frac 14} \leq \left(\sum_{n=1}^N\frac 1{n^{\frac 43}}\right)^{\frac 34}\left(\sum_{n=1}^N|a_n|\right)^{\frac 14}\)

Beide Summen auf der rechten Seite sind für \(N\to\infty\) konvergent.