Aufgabe:
4)
\( \overbrace{\left(x^{2}+2 e^{y}\right)}+\overbrace{2 x e^{y} y^{\prime}}=0 \)
(i) Zeigen Sie, dass diese Differentialgleichung exakt ist und berechnen Sie ihre Stammfunktion. Geben Sie die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung an!
Meine Lösung:
\( \overbrace{\left(x^{2}+2 e^{y}\right)}^{t}+\overbrace{2 x e^{y} y^{\prime}}^{g}=0 \)
\( \begin{array}{l} f y=2 e^{y} \\ g x=2 e^{y} \\ F=\int x^{2}+2 e^{y} d x=\frac{x^{3}}{3}+2 x e^{y}+c(y) \\ G=\int 2 x e^{y} d y=2 x e^{y}+c(x) \\ F=6=\frac{x^{3}}{3}+2 x e^{y} \\ y=\int \frac{-x^{2}-2}{2 x} \\ y=\frac{-1}{2} \int x \cdot d x-\int \frac{1}{x} d x \\ y=\frac{-x^{2}}{4}-\ln (x) \end{array} \)
\( \begin{array}{c} x^{2}+2 e^{y}+2 x e^{y} y^{\prime}=0 \\ e^{y}\left(x^{2}+2+2 x y^{\prime}\right)=0 \\ e^{y} \neq 0 \quad x^{2}+2+2 x y^{\prime}=0 \end{array} \)
\( \begin{array}{l} 2 x y^{\prime}=-x^{2}-2 \\ y^{\prime}=\frac{-x^{2}-2}{2 x} \end{array} \)
Problem/Ansatz:
Hallo zusammen!
Denkt ihr dass meine Lösung hier richtig ist, oder gibt ist hier irgendwelcher denkfehler ?
Danke!
