wie wird das bewiesen?

Question

Aufgabe:

Seien a, b ∈ Z sowie m, n, k ∈ N. Beweisen oder widerlegen Sie:

(a) n² ≡n mod2,
(b) n³ ≡n mod3,
(c) n⁴ ≡ n mod 4,
(d) a≡b mod m ⇒ a^k ≡b^k mod m.

wie wird das bewiesen? Danke

Answer 1

n² ≡n mod2,    <=>    n² - n ist durch 2 teilbar

                   <=>    n(n - 1) ist durch 2 teilbar

Dem ist so, weil von zwei aufeinanderfolgenden nat.

Zahlen immer eine gerade ist.

bei b) betrachte n^3 - n =n(n-1)(n+1)

bei c) betrachte n=3

d)  a≡b mod m ⇒ Es gibt ein t∈ℕ mit b = a + t*m

                     ⇒   b^k = (a + t*m)^k

binomischen Satz rechts anwenden gibt

             b^k= a^k + k*a^k-1*t*m + (k über 2) *ak-2*(t*m)² + ...+(t*m)^k  

Das rote ist durch m teilbar, also a^k ≡b^k mod m.