Wie wird die Aufgabe mit vollständiger Induktion nach n bewiesen?

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie mit vollständiger Induktion nach n

\( p \mid \prod \limits_{i=1}^{n} q_{i} \Rightarrow \bigvee_{i \in\{1, \ldots, n\}} p=q_{i} \)

für alle \( n \in \mathbb{N} \) mit \( p, q_{1}, \ldots, q_{n} \) Primzahlen.
Problem/Ansatz:

Answer 1

Beweisen Sie mit vollständiger Induktion nach n

\( p \mid \prod \limits_{i=1}^{n} q_{i} \Rightarrow \bigvee_{i \in\{1, \ldots, n\}} p=q_{i} \)

für alle \( n \in \mathbb{N} \) mit \( p, q_{1}, \ldots, q_{n} \) Primzahlen.

Ind.anfang( n=1) : \( p \mid \prod \limits_{i=1}^{1} q_{i} \) d.h.   p | q₁

Wenn aber eine Primzahl ein Teiler einer anderen ist, dann sind sie gleich.

Also p = q₁  .

Annahme: Es gilt für ein n.

==>   \( p \mid \prod \limits_{i=1}^{1´n+1} q_{i} \)

==>  \( p \mid     q_{n+1} \cdot \prod \limits_{i=1}^{n} q_{i} \)

Wenn eine Primzahl p ein Produkt teilt, dann teilt sie einen

der Faktoren, also folgt

\( p \mid     q_{n+1}   \text{oder }    p \mid  \prod \limits_{i=1}^{n} q_{i} \)

Im 1. Fall ist (wie im Fall n=1) p=q_n+1

und im 2. Fall gibt es (nach Ind.annahme) ein i mit p=q_i .