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Aufgabe:

Wie beweise ich Folgendes mit vollständiger Induktion nach n?


Problem/Ansatz:

\( \bigwedge_{n \in \mathbb{N}_{0}}(g-1) \cdot\left(\sum \limits_{i=0}^{n-1} g^{i}\right)=g^{n}-1 \quad \) für \( g \in \mathbb{Z} \)

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\( \bigwedge_{n \in \mathbb{N}_{0}}(g-1) \cdot\left(\sum \limits_{i=0}^{n-1} g^{i}\right)=g^{n}-1 \quad \) für \( g \in \mathbb{Z} \)

Ind. anfang: n=0 . Dann hast du 0=0.

Angenommen, die Gleichung gilt für ein n∈ℕo, dann folgt:

\(   (g-1) \cdot\left(\sum \limits_{i=0}^{n} g^{i}\right)=   (g-1) \cdot\left(\sum \limits_{i=0}^{n-1} g^{i}+ g^n\right)  \)

\(=    (g-1) \cdot\left(\sum \limits_{i=0}^{n-1} g^{i}\right) + (g-1) \cdot g^n=  \)

Induktionsannahme einsetzen

\(=   g^{n}-1  + (g-1) \cdot g^n=  g^{n}-1  + g^{n+1} -g^n = g^{n+1} -1  \)

q.e.d.

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