\( \bigwedge_{n \in \mathbb{N}_{0}}(g-1) \cdot\left(\sum \limits_{i=0}^{n-1} g^{i}\right)=g^{n}-1 \quad \) für \( g \in \mathbb{Z} \)
Ind. anfang: n=0 . Dann hast du 0=0.
Angenommen, die Gleichung gilt für ein n∈ℕo, dann folgt:
\( (g-1) \cdot\left(\sum \limits_{i=0}^{n} g^{i}\right)= (g-1) \cdot\left(\sum \limits_{i=0}^{n-1} g^{i}+ g^n\right) \)
\(= (g-1) \cdot\left(\sum \limits_{i=0}^{n-1} g^{i}\right) + (g-1) \cdot g^n= \)
Induktionsannahme einsetzen
\(= g^{n}-1 + (g-1) \cdot g^n= g^{n}-1 + g^{n+1} -g^n = g^{n+1} -1 \)
q.e.d.
