Zeigen Sie, daß diese Familien Basen sind und bestimmen Sie die Basiswechselmatrix A(v, w).

Question

Aufgabe:

Aufgabe 1. Wir betrachten Vektorräume uber ¨ F3. Wir betrachten die Familien
v := 2 1 1

    1 2 1

    1 1 2
und
w := 2 2 1
     0  2 1

    2  2  2

in F^3 
3
. Zeigen Sie, daß diese Familien Basen sind und bestimmen Sie die Basiswechselmatrix A(v, w).

Problem/Ansatz:

Answer 1

Drei linear unabhängige Vektoren in F₃³ bilden immer eine Basis.

Und die lineare Unabhängigkeit kannst du prüfen, indem du

zeigst, dass die Determinanten der beiden Matrizen nicht 0 sind.

Und A kannst du bestimmen durch

\(  A \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 &1\\ 1 & 2 &1\\1 & 1 &2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 &1\\ 0 & 2 &1\\2 & 2 &2 \end{pmatrix}   \)

==>  \(  A =  \begin{pmatrix} 0 & 0 &2\\ 0 & 2 &1\\2 & 2 &2 \end{pmatrix} \)

Comments

Hallo,

vielen Dank für deine Antwort. Leider wurde dieses Thema in der Vorlesung meines Dozenten nicht behandelt. Dennoch habe ich versucht, die Vektorfamilien in die sogenannte Zeilenstufenform zu überführen und anschließend die entsprechenden Gleichungen aufzustellen. Nachdem ich sie nach Null aufgelöst habe, ergab sich, dass
�
1
,
�
2
x
1

,x
2

und
�
3
x
3

gleich Null sind, was darauf hinweist, dass die Vektoren in
�
v linear unabhängig sind. Den gleichen Ansatz habe ich auf
�
w angewandt.

Allerdings stehe ich nun vor der Herausforderung, die Basiswechselmatrix zu bestimmen. Hierzu fehlt mir das Verständnis. Könntest du mir bitte weiterhelfen?

Vielen Dank.

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Hab was ergänzt.