Untersuchen von teilmengen Offenheit und Abgeschlossenheit

Question

Aufgabe:Untersuchen Sie die folgenden Teilmengen in R bzw. C auf Offenheit und Abgeschlossenheit:

\( A:=\left\{x \in \mathbb{R} \mid 0 \leq x^{2}-4<12\right\} \subseteq \mathbb{R} \)

\( B:=\left\{y \in \mathbb{R} \mid \sqrt{y}+\mathrm{e}^{y} \in[0,3]\right\} \subseteq \mathbb{R} \)

Wie kann man das berechnen?

Answer 1

Zu 1: \(A=(-4,-2]\cup[2,4)\), diese Menge ist weder offen noch abgeschlossen.

Zu 2: \(B\) ist Urbild einer abgeschlossenen Menge bzgl. einer stetigen Funktion. Minuspunkt an die Aufgabensteller für die nicht überall definierte Wurzel, ohne einen expliziten Definitionsbereich anzugeben.

Diese Angaben in \(\mathbb{R}\). Diese Mengen wären in \(\mathbb{C}\) "platt" in dem Sinne, dass sie keinen noch so kleinen Ball enthalten, wären also etwas besonders zu betrachten, falls das von der Aufgabenstellung gefragt würde.

Comments

Zu B steht eindeutig da, dass es eine Teilmenge der reellen Zahlen ist. Und ein Definitionsbereich ist da auch nicht notwendig. Aus der Bedingung folgt, dass die Menge eben keine negativen Elemente enthält. Wozu also einen Definitionsbereich angeben?

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Auch Teilmengen von \(\mathbb{R}\) kann man als Teilmengen von \(\mathbb{C}\) untersuchen, vor allem wenn die Aufgabenstellung ähnliches erwähnt. Vielleicht gibt es außer einer a) und b) noch weitere Teilaufgaben, vielleicht auch nicht. Für den Fall der Fälle sollte man noch einmal drauf hinweisen.

Normalerweise bekommt man im ersten Studienjahr eine gerechtfertigte Punkteklatsche dafür, eine Menge der Form \(\{x\in M|\phi(x)\}\) für ein Prädikat \(\phi\) hinzuschreiben, das nicht für alle Elemente von \(M\) wohldefiniert ist. Dementsprechend ist hier eine Tadelung der Aufgabensteller durchaus gerechtfertigt - Erstis verlieren für so etwas schließlich auch ihre Punkte, wenn sie einen guten Tutor haben.

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Danke erstmal für die Hilfe könntest du mir zeigen wie du die Mengen ausgerechnet hast