Zerlegung des Integranden bei Partialzerlegung

Question

Aufgabe: Zerlegung des Integranden

∫ \( \frac{x²+2x−1}{x²-x} \)dx =  grüner Zähler → \( \frac{x²+2x−1}{x²-x} \) = roter Zähler→ \( \frac{x²-x+3x-1}{x²-x} \) =\( \frac{x²-x}{x²-x} \) + \( \frac{3x−1}{x²-x} \) = 1+\( \frac{3x−1}{x²-x} \)

Problem/Ansatz:

… Hallo Leute, kann mir bitte jemand erklären, wie ich von dem grünen Zähler zu dem roten Zähler komme, ist gerade etwas zu hoch. Danke für die Mühe

Comments

∫ \( \frac{x²+2−1}{x²-x} dx \)

Bist du sicher, dass das nicht ∫ \( \frac{x²+2x−1}{x²-x} dx \) heißen muss ???

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Danke für den Hinweis

Answer 1

Aloha :)

Im Zähler wurde eine \(\pink0\) addiert:$$\small\frac{x^2+2x-1}{x^2-x}=\frac{(x^2\,\overbrace{\pink{-x})\pink{+x}}^{=0}+2x-1}{x^2-x}=\frac{(x^2-x)+(3x-1)}{x^2-x}=1+\frac{3x-1}{x^2-x}$$

Danach kannst du noch eine \(\pink0\) addieren:$$=1+\frac{(3x\,\overbrace{\pink{-3})\pink{+3}}^{=0}-1}{x(x-1)}=1+\frac{3(x-1)+2}{x(x-1)}=1+\frac3x+\frac{2}{x(x-1)}$$

Und danach wieder eine \(\pink0\) addieren:$$=1+\frac3x+\frac{(2\,\overbrace{\pink{-2x})\pink{+2x}}^{=0}}{x(x-1)}=1+\frac3x+\frac{-2(x-1)}{x(x-1)}+\frac{2x}{x(x-1)}$$$$=1+\frac3x-\frac2x+\frac{2}{x-1}=1+\frac1x+\frac{2}{x-1}$$

Answer 2

Dahin kommst du gar nicht, weil etwas fehlt.

Der rote Zähler heißt nicht x²-+3x-1, sondern x²-x+3x-1.

Der einzige Unterschied zwischen grünem um rotem Zähler ist, dass man 2x als -x+3x schreibt.

Answer 3

Hallo

in Zähler wurde 2x=3x-x geschrieben  damit hat man (x^2-x) +(3x-1) und kann beides durch den Nenner (x^2-x) teilen Da macht man häufig, wenn Z und N dieselbe maximale x-Potenz haben , also merk dir den Trick!

bei dir steht allerdings als Tipfehler nicht x^2+2x-1 sondern x^2+2-1

Gruß lul

Answer 4

Du meinst sicher im Zähler: x^2-2x-1 = x^2-2x+1-2 = (x-1)^2 -2

-> ((x-1)^1-2)/(x(x-1)) = (x-1)/x - 2/((x-1)x) = 1-1/x - 2/((x-1)x)

Integriere nun die 3 Teile. Die ersten beiden sind sicher kein Problem.

Beim 3. Partialbruchzerlegung durchführen