Wie berechnet man den Grenzwert bei einer Wurzel?

Question

Aufgabe:

a.) \( \lim\limits_{x\to1} \) (\( \frac{1}{1-x} \)-\( \frac{3}{1-x^{3}} \))=\( \frac{-2-x-x^{2}}{(1-x)(1+x+x^{2})} \)

mit x eingesetzt und ausgerechnet = -4/0

was ist der Grenzwert?

b.) \( \lim\limits_{x\to1} \) \( \sqrt{\frac{x^{2}-x}{2x^{2}-2}} \) = \( \sqrt{1/2} \)

Was ist hier der grenzwert?

Problem/Ansatz:

… Kann hier jemand helfen?

Comments

Du hast wohl einen Rechenfehler, es muss bei a) im Zähler am Ende +2 sein. Dann kannst Du noch einmal 1-x kürzen ... - wenn ich mich nicht verrechnet habe

Answer 1

b)

\( \sqrt{\frac{x^{2}-x}{2x^{2}-2}} \)

\( \sqrt{\frac{x(x-1)}{2(x^{2}-1)}} \)

\( \sqrt{\frac{x(x-1)}{2(x+1)(x-1)}} \)

\( \sqrt{\frac{x}{2(x+1)}} \)

\( \frac{1}{2}\sqrt{2}\cdot\sqrt{\frac{x}{(x+1)}} \)

\( \lim\limits_{x\to1}\frac{1}{2}\sqrt{2}\cdot\sqrt{\frac{x}{(x+1)}}=\frac{1}{2}\sqrt{2}\cdot\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\)

Comments

x/(x+1)= (x+1-1)/(x+1) = 1- 1/(x+1) = 2  für x->1

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1- 1/(x+1) = 2

falsch

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Stimmt, 1/ ging verloren Kann es leider nicht mehr verbessern.

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Nein, anderer Fehler (siehe auch unten).

Answer 2

a) HN bilden:

(1-x^3-3+3x)/(1-x^3-x+x^4) = 0/0 für x->1

L'Hospital:

(-3x^2+3)/(-3x^2-1+4x^3)

nochmal anwenden:

-6x/(-6x+12x^3) = -6/6 = -1 für x-> 1

Comments

Als HN nimmt man üblicherweise das kgV, in diesem Fall \(1-x^3\), was der FS schon erkannt hatte. Durch den unnötigen Faktor \(1-x\) muss man nun 2mal l'Hospital anwenden (anstatt einmal, wenn man überhaupt l'Hospital anwenden will, was nicht nötig ist).

nochmal anwenden:

-6x/(-6x+12x³)

falsch

-6x/(-6x+12x³) = -6/6

falsch (kein Folgefehler).

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Bitte genauer erklären.

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Leite halt richtig ab.

Answer 3

Zu a) Im Zähler sollte \(-2+x+x^2\) stehen, und dann kann man \(1-x\) kürzen und dann den Grenzwert durch Einsetzen bestimmen.