Stochastik Hypothesentest Mathe

Question

Aufgabe Niklas hat zu Hause in seiner Schublade einen normalen Spielwürfel und einen gefälschten. Beim gefälschten Würfel beträgt die Wahrscheinlichkeit eine „6“ zu würfeln 30%.
1. ErwählteinenWürfelausundwillmit20Würfentesten,obderWürfelgefälschtist.Fälltdie„6“häufigerals 5-mal, so nimmt er an, dass der Würfel gefälscht ist. Berechne die Größe des Fehlers 1. und 2. Art.
a. StatistischeGesamtheit:
b. Hypothesen:
c. KurzdarstellungderHypothesen:
d. Stichprobe:
e. Prüfgröße:
f. Kritische Zahl:
g. Entscheidungsregel:
h. Fehler 1. Art ( − h) im Sachkontext:
i. Fehler 2. Art ( − h) im Sachkontext:

Problem/Ansatz:

Ich verstehe überhaupt nicht, wie man auf die kritische Zahl und Entscheidungsregel kommt. Wir haben das Thema erst seit heute. Kann jemand bitte erklären, wie man auf f und g kommt? Danke im Voraus:)

Answer 1

H0: p = 1/6 ; H1: p = 0.3

Fällt die „6“ häufiger als 5-mal, so nimmt er an, dass der Würfel gefälscht ist.

Die kritische Zahl ist der letzte Wert, bei dem noch die Nullhypothese angenommen wird. Es gilt also k = 5, weil bis 5 H0 angenommen (nicht abgelehnt) wird. Ab 6 wird dann H1 angenommen (nicht abgelehnt).

Ich komme damit auf folgende Fehlerwahrscheinlichkeiten.

α = 0.1018 ; β = 0.4164

Comments

Danke, was meinst du aber genau mit angenommen? Und was ist davon die Entscheidungsregel

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Die Entscheidungsregel besagt, in welchem Intervall du vermutest, dass der Würfel fair ist, bzw. in welchem Intervall du vermutest, dass der Würfel gefälscht ist.

Die Entscheidungsregel ist vorgegeben.

Im Intervall [0 ; 5] entscheiden wir, dass der Würfel fair ist.

Im Intervall [6 ; 20] entscheiden wir, dass der Würfel gefälscht ist.

Achtung. Egal wie wir uns entscheiden, ist unsere Entscheidung mit einem Fehler behaftet. Das heißt, unsere Entscheidung kann auch falsch sein. Wie groß diese Fehler sind, besagen der α- und der β-Fehler.

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Wenn ihr das Thema erst neu habt empfehle ich dazu mal ein Grundlagenvideo anzusehen.

https://studyflix.de/statistik/hypothesentest-1719

Beachte, dass es zu dem Thema bei Studyflix eine ganze Reihe Videos zu dem Thema gibt.

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Danke danke! Ich habe alle Aufgaben geschafft und mit den Lösungen verglichen. Wie funktioniert aber die e.) bei dieser Aufgabe? Ich verstehe die Lösung nicht wirklich bitte nur die e.) genau erklären den Rest habe ich dank dir lösen können :)

Auf einem indischen Markt werden Säcke verkauft, die eine Mischung aus grünen und gelben Erbsen enthalten. Die gelben Erbsen sind wegen des Vitamingehalts wertvoller. Der Anteil der gelben Erbsen beträgt in einigen Säcken 2. Wahl nur 20%, in anderen Säcken I. Wahl sind es dagegen 40%. Die Säcke sind allerdings nicht entsprechend markiert. Beim Verkauf entnimmt der Händler jedem Sack zum Testen 50 Erbsen und zählt die gelben Erbsen in dieser Probe aus. Sind es mindestens 14, so wird der Sack als 1.Wahl taxiert.
a) Formulieren Sie die beiden Hypothesen des Tests und die Entscheidungsregel.
b) Bestimmen Sie die Fehlerwahrscheinlichkeit 1. Art (Fälschliches Verwerfen von Ho).
c) Bestimmen Sie die Fehlerwahrscheinlichkeit 2. Art (Fälschliches Verwerfen von H,).
d) Diskutieren Sie, wie Händler und Kunde von den Fehlern aus b) und c) betroffen sind.
e) Ändern Sie nun die Entscheidungsregel so ab, dass die Fehlerwahrscheinlichkeit 1. Art maximal 5% beträgt.

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e) Die Prüfgröße X ist die Anzahl der gewürfelten 6en bei insgesamt 20 Würfen.

Das ist die Größe, die du prüfst und daraus versuchst zu bestimmen, ob der Würfel fair oder gefälscht ist.

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Bei der e.) soll ich doch aber die Entscheidungsregel ändern

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Dann muss ich dazu wissen, was du als H0 und was du als H1 genommen hast. Grundsätzlich änderst du die Entscheidungsregel so ab, dass der Alpha-Fehler unter 5% liegt. Dazu musst du den Kritischen Wert k anpassen. Das kann durch probieren Erfolgen, mit Taschenrechner oder durch Näherung über die Normalverteilung. Dabei im Nachhinein gerne nochmals mit der Binomialverteilung nachrechnen.

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Die Nullhypothese muss H0: p = 0.2 lauten, dann ansonsten wäre der α-Fehler schon bei unter 5% und damit wäre e) hinfällig.

Bei e) muss die Entscheidungsregel dann lauten, dass man sich erst bei mind. 16 Erbsen dafür entscheidet, dass der Sack 1. Wahl ist.

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Warum kann man für die kritische Zahl statt 16 nicht 15 nehmen? Bei 15 kommen auch nur ca. 3% raus. Und du meintest „ Das kann durch probieren Erfolgen, mit Taschenrechner oder durch Näherung über die Normalverteilung.„ könntest du es mir bitte mit dem rechnen erklären?

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Wie hast du

b)
α = P(X ≥ 14 | H0) = ...

berechnet und was kommt dort heraus? Wie rechnest du jetzt

e) 
α = P(X ≥ 15 | H0) = ...
α = P(X ≥ 16 | H0) = ...

aus und was kommt dabei heraus?

Das sind doch fast immer die gleichen Rechnungen nur mit leicht abgeänderten Zahlen.

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e) K= 15 P(x>15)=1-P(x<14)

                         = 1-F(50;0,2;14)

                         = 6% Oh da kommt ja mehr als 5%

Aber wieso könnte man als K nicht 17 nehmen?

Da wäre es so

K= 17 P(x>17)=1-P(x<16)
                        = 1-F(50;0,2;16)
                        = 1,44% das würde doch auch zu maximal 5% passen

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Der Fehler 1. Art soll gerade eben kleiner gleich 5% sein. Ansonsten könnte man ja sagen ich nehme die Alternativhypothese erst bei mind. 21 an. Dann wäre der Alpha-Fehler ja null. Das ist doch aber für einen Test nicht sehr Sinnvoll oder?

Weiterhin wird dann der Beta-Fehler unnötig groß.

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Ich hasse das Abitur Mathecoach :( Aber du bist ein Genie