f in 0 stetig, f auf ganz ℝ stetig

Question

Ich möchte zeigen, dass die folgende Funktion, die in 0 stetig ist, auf ganz ℝ stetig ist:

Sei f:ℝ→ℝ eine Funktion, die in 0 stetig ist mit f(0)≠0 und der Funktionalgleichung f(x+y)=f(x)·f(y) für alle x,y∈ℝ genügt.

(Ich weiß bereits, dass f(0)=1 und dass f keine Nullstellen hat.)

Hat jemand eine Idee? Ich bin mir unsicher, welche Stetigkeitsdefinition man überhaupt verwenden sollte.

Wenn ich ε/δ nehme, sieht das so aus:

Da f in 0 stetig ist, gilt

∀ε>0 ∃ δ>0 ∀x∈ℝ : Ιx-0Ι = ΙxΙ<δ ⇒ Ιf(x) - f(0)Ι = Ιf(x) - 1Ι .

Sei nun ε>0 und x0∈ℝ\{0} beliebig.

Wir wählen δ= ???

Wenn ich das andere mir bekannte Kriterium nehme, hab ich:

Da f in 0 stetig ist, gilt

lim x↦0 f(x) = f(0) = 1.

Und das Folgenkriterium besagt:

Für jede Folge (x_n)_n in ℝ gilt

lim n↦∞ x_n = 0 ⇒ lim n↦∞ f(x_n) = f(0) = 1.

Answer 1

Ich gebe zwei verschiedene Beweise. Einmal die Folgenstetigkeit, da sie elegant ist, und das \(\varepsilon,\delta\)-Geplänkel, weil man sich manchmal auch einfach die Hände schmutzig machen muss.

Zur Folgenstetigkeit: Stetigkeit auf ganz \(\mathbb{R}\) bedeutet: Für beliebige \(x\in\mathbb{R}\) und beliebige Nullfolgen \((a_n)_{n\in\mathbb{N}}\) muss gelten: \(\lim\limits_{n\to\infty} f(x+a_n)=f(x)\).

Wir rechnen explizit nach: \(\lim\limits_{n\to\infty}f(x+a_n)=\lim\limits_{n\to\infty}f(x)\cdot f(a_n)=f(x)\cdot \lim\limits_{n\to\infty}f(a_n) = f(x)\cdot 1 = f(x)\), der benutzte Grenzwert gilt wegen der gegebenen Stetigkeit in \(0\).

Zum \(\varepsilon,\delta\)-Geplänkel: Du weißt bereits, dass du wegen der Stetigkeit in der \(0\) für jedes \(\varepsilon>0\) ein \(\delta>0\) bekommst, sodass \(\left(|x|<\delta\implies |f(x)-1|<\varepsilon\right)\).

Wir nehmen uns jetzt irgendeinen Punkt \(x_0\neq 0\) und irgendein \(\varepsilon>0\). Von der Stetigkeit in \(0\) möchten wir jetzt ein \(\delta>0\), sodass \(\left((|x|<\delta\implies |f(x)-1|<\frac{\varepsilon}{|f(x_0)|}\right)\) Warum dieses komisch gewählte epsilon, merkst du gleich.

Jetzt nehmen wir an, wir haben ein \(x\in\mathbb{R}\) mit \(|x-x_0|<\delta\). Wir wollen die Gleichung aus der Aufgabenstellung verwenden, die die Funktion erfüllt, und schreiben dafür \(x=x_0+(x-x_0)\). Jetzt können wir ausrechnen:

\(|f(x)-f(x_0)| = |f(x_0+(x-x_0))-f(x_0)| = |f(x_0)\cdot f(x-x_0)-f(x_0)\cdot 1| = |f(x_0)|\cdot|f(x-x_0)-1| < |f(x_0)|\cdot \frac{\varepsilon}{|f(x_0)|} = \varepsilon \).

Comments

Vielen Dank, Joners :D

Und sogar zwei Lösungswege, das ist superlieb!

Das "Geplänkel" werde ich gleich durcharbeiten.

Ich kann das mit der Folgenstetigkeit nachvollziehen, aber verstehe nicht, warum das gezeigte \(\lim\limits_{n\to\infty} f(x+a_n)=f(x)\) ausreicht, um Stetigkeit auf ganz ℝ zu beweisen.

Laut Skriptdefinition würde Stetigkeit auf ganz ℝ für mich bedeuten:

f ist genau dann stetig in beliebigem Punkt x∈ℝ, wenn für jede Folge a_n in ℝ mit \(\lim\limits_{n\to\infty} a_n=x\) gilt

\(\lim\limits_{n\to\infty} f(a_n)=f(x)\) .

Bei dir sind die a_n ja nur Nullfolgen...

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Ah, ich hab's begriffen. Durch das Addieren von x bekommt man eine beliebige Folge mit Grenzwert x :)

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Goldrichtig! Ich schreibe Folgen, die gegen ein \(x\) konvergieren, sehr gerne als \(x+\text{Nullfolge}\), dann kann man sich beim Abschätzen auf des Wesentliche konzentrieren, einfacher abschätzen, vielleicht Dinge rausziehen etc.

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dann kann man sich beim Abschätzen auf des Wesentliche konzentrieren

es sei denn, das Wesentliche geht verloren :
(Wohin) konvergiert n*(x_n-x), wenn (x_n) = x + Nullfolge ist ?

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Wo ist das Problem? Bzw. welches Problem siehst du hier, das nicht existiert, wenn du versuchst herauszufinden, was mit der Konvergenz von \(na_n\) los ist, wenn \(a_n\) eine stinknormale Nullfolge ist? Kann halt alles mögliche sein, tough luck.

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Kann halt alles mögliche sein

Eben darum kann es sein, dass die schlichte Ersetzung von (xn) durch x+Nullfolge nicht zielführend ist, wie ich mit meinem Kommentar oben deutlich gemacht habe.