Berechnung von Taylorpolynom

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie das angegebene Taylorpolynom um den angegebenen Entwicklungspunkt x0 für die Funktionen f : [−1,1] → R und g : R → R
a) T4 um x0= 0 für f(x)=√(1−x²)
(b) T15 um x0 = −1 für g(x) := x⁴ − x + 5

Problem/Ansatz:

Answer 1

(a)
Nimm das passende Taylorpolynom von $\sqrt{1-t}$ um $t=0$ und ersetze $t= x^2$.

(b)

Ersetze $x = (x+1) - 1$ und fasse entsprechend zusammen.

Answer 2

a)

Bekommst du den die Ableitungen hin? Notfalls nutze http://www.ableitungsrechner.net zur Hilfe und Selbstkontrolle.

f(x) = √(1 - x²)
f'(x) = - x/√(1 - x²)
f''(x) = - 1/(1 - x²)^(3/2)
f'''(x) = - 3·x/(1 - x²)^(5/2)
f''''(x) = - 3·(4·x² + 1)/(1 - x²)^(7/2)

T4(x) = f(0) + f'(0)·x + f''(0)/2!·x² + f'''(0)/3!·x³ + f''''(0)/4!·x⁴
T4(x) = 1 + 0·x - 1/2·x² + 0·x³ - 1/8·x⁴
T4(x) = 1 - 1/2·x² - 1/8·x⁴

Skizze

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f₁(x) = √(1-x²)f₂(x) = 1-1/2·x²-1/8·x⁴