Berechnung von Taylorpolynom

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie das angegebene Taylorpolynom um den angegebenen Entwicklungspunkt x0 für die Funktionen f : [−1,1] → R und g : R → R
a) T4 um x0= 0 für f(x)=√(1−x^2)
(b) T15 um x0 = −1 für g(x) := x^4 − x + 5

Problem/Ansatz:

Answer 1

(a)
Nimm das passende Taylorpolynom von \(\sqrt{1-t}\) um \(t=0\) und ersetze \(t= x^2\).

(b)

Ersetze \(x = (x+1) - 1 \) und fasse entsprechend zusammen.

Answer 2

a)

Bekommst du den die Ableitungen hin? Notfalls nutze http://www.ableitungsrechner.net zur Hilfe und Selbstkontrolle.

f(x) = √(1 - x^2)
f'(x) = - x/√(1 - x^2)
f''(x) = - 1/(1 - x^2)^(3/2)
f'''(x) = - 3·x/(1 - x^2)^(5/2)
f''''(x) = - 3·(4·x^2 + 1)/(1 - x^2)^(7/2)

T4(x) = f(0) + f'(0)·x + f''(0)/2!·x^2 + f'''(0)/3!·x^3 + f''''(0)/4!·x^4
T4(x) = 1 + 0·x - 1/2·x^2 + 0·x^3 - 1/8·x^4
T4(x) = 1 - 1/2·x^2 - 1/8·x^4

Skizze

~plot~ sqrt(1-x^2);1-1/2·x^2-1/8·x^4 ~plot~