Darstellung komplexer Zahlen mit Gleichung

Question

Aufgabe:

Menge Darstellen von komplexen Zahlen.

Problem/Ansatz:

M = {z∈ℂ Ι  lz-1+il = l1l

Wie kann ich das zeichnen?

Answer 1

Mein CAS gibt lz-1+il = l1l als 'false' aus. Dann kann man es nicht zeichnen.

Comments

Dann solltest du deinen CAS entsorgen. z=1 ist bspw. eine Lösung.

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ich habe aber kein CAS zu Verfügung in der Prüfung

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Braucht man auch nicht. Genauso wie diese unnötige und mathematisch völlig falsche Antwort.

Answer 2

Die Gleichung beschreibt alle Punkte, die von der komplexen Zahl \(1- \mathrm{i}\) den Abstand 1 haben.

Comments

und zeige ich das

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Mach eine Skizze. Man sollte die geometrische Bedeutung des Betrages kennen.

Answer 3

Hallo,

Wie kann ich das zeichnen?

man zeichnet zunächt die Menge aller komplexen Zahlen, die den Betrag 1 haben. Dies ist schlicht der Kreis mit dem Radius 1 um den Ursprung der Gaußschen Zahlenebene.

Dann zeichne einen beliebigen Punkt in die Gaußsche Zahlenebene und schreibe \(z\) dran. Anschließend konstruierst Du den Punkt \(z-1-i\), indem Du Dich von \(z\) aus um eine Einheit nach links (\(-1\))  und eine Einheit nach unten (\(-i\)) bewegst. Jetzt wiederhole dies so lange bis sich \(z-1-i\) auf dem Einheitskreis befindet.

https://www.desmos.com/calculator/dejpvc96r8

das geht heutzutage auch leichter mit Desmos (s.o.) Verschiebe dort \(z\) mit Maus, so dass \(z-1-i\) auf dem roten (Einheits)kreis landet.

Die Menge aller Punkte \(z\), die Du so anfahren kannst, ist dann das Ergebnis. Das obige ist auch weniger als Anweisung zum Zeichnen gemeint, sondern ist ein Versuch zur Mehrung des Verständnis'. Das Ergebnis ist eben ein Kreis um (1,1) mit Radius 1.

Gruß Werner

Comments

das habe ich noch nicht ganz verstanden außerdem habe ich eine Tippfehler gemacht es heißt z-1-i

warum ist der betrag z der Einheitswert kreis

muss ich nicht das z in x+yi umwandeln

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Die Konstruktion finde ich auch viel zu umständlich. Zudem ist das \(z\) hier falsch.

Merke dir einfach: \(|z-a|\) ist der Abstand von \(z\) zu \(a\) in der komplexen Zahlenebene. Da dieser gleich \(|1|=1\) sein soll, sind das alle Punkte auf dem Kreis um \(a\) mit dem Radius 1. Bei dir ist nach Korrektur \(a=1+\mathrm{i}\).

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"das geht heutzutage auch leichter mit Desmos"

Früher ging das auch noch deutlich leichter mittels einer Mini-Portion Denkens ....

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... außerdem habe ich eine Tippfehler gemacht es heißt z-1-i

ich habe meine Antwort auf \(z-1-i\) umgestellt.

das habe ich noch nicht ganz verstanden ... warum ist der betrag z der Einheitswert kreis

Der Betrag einer komplexen Zahl \(z=x+yi\) - wobei \(x\) und \(y\) relle Zahlen sind - ist $$|z| = |x+iy| = \sqrt{x^2+y^2}$$und geometrisch ist der Betrag einer komplexen Zahl ihr Abstand vom Ursprung in der Gaußschen Zahlenebene. Alle komplexen Zahlen mit gemeinsamen Betrag liegen folglich auf einem Kreis.

Alle Punkten mit den Koordinaten \(x\) und \(y\), für die \(\sqrt{x^2+y^2}=1\) gilt, liegen auf dem Einheitskreis.

https://www.youtube.com/watch?v=HFsFPYDMFfU