Wie berechne ich den Limes?

Question

Aufgabe:

\( \lim\limits_{n\to\infty} \) \( \sqrt[n]{4 + \frac{n-1}{n+1}} \)

Problem/Ansatz:

Ich habe keine Ahnung wie ich den Limes von dieser Gleichung berechnen kann. Ich muss den Lösungsweg angeben.

Answer 1

Unter der \(\sqrt[n]{~~} \) steht:

\({4 + \frac{n-1}{n+1}} ={\frac{4n+4+n-1}{n+1}} ={\frac{5n+3}{n+1}}={\frac{\frac{5n}{n}+\frac{3}{n}}{\frac{n}{n}+\frac{1}{n}}}={\frac{5+\frac{3}{n}}{1+\frac{1}{n}}}\)

\( \lim\limits_{n\to\infty}=5 \)

\(\sqrt[n]{5} =1\)

Answer 2

Der Bruch geht gegen 1, der Wurzelradikand demzufolge gegen 5, und die n-te Wurzel einer von 0 verschiedenen Zahl geht gegen 1.