Integral mit enthaltender Heaviside-Funktion bestimmen?

Question

Wie berechne ich:

\( \int \limits_{0}^{\infty}  r\Theta\left(R-r\right)\mathrm{d} r\) ?

Die Heaviside-Funktion adrückt in diesem Fall aus, dass das Integral für $r>R$ gleich null istt, gilt somit

\( \int \limits_{0}^{\infty}r \Theta\left(R-r\right)\mathrm{d} r=\int \limits_{0}^{R}r \mathrm{d} r \)

Answer 1

Du schaust dir als erstes die Definition der Heaviside-Funktion an:

$$\Theta(t) = \left\{\begin{array}{cc} 0 & t< 0 \\ 1 & t \geq 0 \end{array} \right.$$

Jetzt setzt du \(t= R -r\) ein, und schaust, was herauskommt:

$$\Theta(R-r) = \left\{\begin{array}{cccc} 0 & R-r< 0  &\Leftrightarrow & R < r \\ 1 & R-r \geq 0 & \Leftrightarrow & R \geq r \end{array} \right.$$

Damit spaltest du das Integral auf:

$$\int \limits_{0}^{\infty}r \cdot \Theta(R-r)\,dr =\int_0^R r\cdot 1\, dr + \int_R^\infty r\cdot 0\, dr$$

Answer 2

Berechne eine Stammfunktion von \( f(r)=r \) und wende den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung an.