Zeigen Sie, dass 0 der einzig mögliche Eigenwert von A ist.

Question

Aufgabe

Hallo, ich brauche Tipps für folgende Aufgabe. Vielen Dank im Voraus!

Problem

Sei K ein Körper. Eine Matrix A Element Mat(n, K) heißt nilpotent, wenn eine natürliche Zahl m mit A^m = 0 (Nullmatrix) existiert. Zeigen Sie, dass 0 der einzig mögliche Eigenwert von A ist.
Geben Sie außerdem einen Eigenvektor zum Eigenwert 0 an.

Answer 1

Ein schöner Beweis um ein Erfolgserlebnis einzuheimsen.

Sei also \(Ax=\lambda x\), wobei \(x\) nicht der Nullvektor ist. Wende nun \(A\) auf beide Seiten nacheinander mehrfach an und schau, was passiert.