λ^2 ein Eigenwert von A^2 heißt:
Es gibt v≠.0 mit A^2 * v = λ^2 * v und mit der Einheitsmatrix E also
A^2 * v = λ^2*E * v
<=> A^2 * v - λ^2*E * v = 0
<=> ( A^2 - λ^2*E ) * v = 0
<=> ( A - λ*E ) *( A + λE ) * v = 0
Also hat das Matrizenprodukt ( A - λ*E ) *( A + λE )
den Eigenwert 0, also einen nicht-trivialen Kern.
Dann muss einer der Faktoren auch einen nicht-trivialen Kern
haben; denn das Produkt zweier regulärer Matrizen ist regulär.
Es gibt also ein w≠0 mit
( A - λ*E ) * w = 0 oder ( A + λE ) * w = 0
<=> Aw - λ*E * w = 0 oder A w + λE* w = 0
<=> Aw = λ*E * w oder A w = - λE* w
Also ist λ oder - λ ein Eigenwert von A.