Wenn a∈K ein Eigenwert von M ist, dann ist q(a) ein Eigenwert von q(M).

Question

Aufgabe:

Hey Leute ich möchte folgendes beweisen, weiß jedoch nicht wie...

Wir haben ein q ∈ K[X], n∈ℕ und M ∈ K^nxn. Jetzt soll ich folgendes zeigen: Wenn a∈K ein Eigenwert von M ist, dann ist q(a) ein Eigenwert von q(M).

Ich habe leider keine Idee, wie man das lösen könnte. Ich hoffe mir kann jemand helfen.

Answer 1

Wenn a∈K ein Eigenwert von M ist, dann gibt es ein v∈ℝ^n \ {0} mit

M*v = a*v

Dann ist auch M^2*v = M( M(v)) = M(a*v)

wegen der Linearität = a*M(v) = a*a*v = a^2 * v.

Entsprechend M^n*v=a^n*v.

Ist nun q = b_kX^k + b_k-1X^(k-1) + ... + b₀ aus K[x]

dann q(M)*v =  bkM^k*v + bk-1M^(k-1)*v + ... + b0*v

                  =  bka^k*v + bk-1a^(k-1)*v + ... + b0*v

                  = q(a) * v          q.e.d.