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Sei K ein Körper und sei A ∈ M (K) eine Matrix, sodass AB = BA für alle B ∈ M (K) gilt. Beweisen sie, dass A = aI für ein a∈K ist.

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Kann man davon ausgehen, dass mit I die Einheitsmatrix E von http://www.mathe-online.at/lernpfade/Matrizenrechnungen/?kapitel=2 gemeint ist? 

Ich denke schon

1 Antwort

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multipliziere mal eion beliebige Matrix A einmal von links und einmal von rechts mit

0    1    0    0    0 ....  0

0    0    0    0    ........ 0

.................................

0    0    0    0    ........ 0

und vergleiche die Ergebnisse. Wenn die gleich sein sollen, hat das

für die A schon mal Konsequenzen.

Avatar von 289 k 🚀

Ich habe die selbe Aufgabenstellung durchgerechnet. Es wäre nett, wenn mir jemand sagen könnte, ob mein Lösungsweg stimmt und ob ich das mathematisch so formulieren darf.

blob.png

Text erkannt:

Beweisen Sie, dass \( A=a I \) n fur \( \sin a \) fur alle \( B \in M \) nn \( (K) \)
\( \operatorname{Namix} A\left|\begin{array}{c}a_{1,1} a_{1, n} \\ a_{n n} a_{n n}\end{array}\right| \quad \) Nativiz \( \left[\begin{array}{l}b_{1,1} b_{1, n} \\ b_{n n} b_{n n}\end{array}\right] \)
\( \left[\begin{array}{ll}a_{1,1}+b_{1,1} a_{1, n}+b_{n, n} & {\left[\begin{array}{l}b_{1,1}+a_{1,1} b_{1, n}+a_{n, n} \\ b_{n, n}+a_{1, n} b_{n, n}+a_{n n}\end{array}\right] \text { Ungleiche Parre auf } 0 \text { gesetzt somit verbleiben nur die gleichen Parre. }} \\ a_{n_{n} n}+b_{1, n} a_{n n}+b_{n_{n}}\end{array}\right. \)
Damit \( A B=B A \operatorname{mus} A \quad\left[\begin{array}{l}a_{1}, 1 \\ \theta_{n}\end{array}, a_{n}, n_{n}\right]=a \ln \)

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