Zeige, dass ϕ diagonalisierbar ist und ±1 die einzig möglichen Eigenwerte von ϕ sind.

Question

Aufgabe:

Es seien V ein endlichdimensionaler \(\mathbb{Q}\) -Vektorraum und ϕ : V → V eine lineare Abbildung mit
\(ϕ ◦ ϕ = \operatorname{id}_{V4}\) . Zeige, dass ϕ diagonalisierbar ist und ±1 die einzig möglichen Eigenwerte von ϕ sind.

Ansatz:

ich weiß ja, dass eine n*n matrix dann diagonalisierbar ist, wenn die summe ihrer eigenwerte = n ist, nur wie genau kann ich das auf diese aufgabe anwenden..

Comments

Fang doch mal an: Wenn \(\Phi v= \lambda v\), was folgt dann aus der angegebenen Eigenschaft von \(\Phi\)? Im weiteren: Sagt Dir der Begriff "Minimalpolynom" etwas?

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ich weiß ja, dass eine n*n matrix dann diagonalisierbar ist, wenn die summe ihrer eigenwerte = n ist

Das ist falsch. Sie ist z.B. diagonalisierbar falls die Summe der geometrischen Vielfachheiten = n ist.