Beweis vollständige Induktion geht nicht auf

Question

Aufgabe:

\( \sum\limits_{k=1}^{n}{(n+k)} \) = \( \frac{1}{2} \)n(3n+1). Beweise für n∈ℕ mittels vollständiger Induktion.

Problem/Ansatz:

Ich rechne an der Aufgabe jetzt schon 2 Stunden aber ich komme nicht weiter. Das ist mein Lösungsweg, aber es geht nie ganz auf:

Text erkannt:

\( A(n): \sum \limits_{k=1}^{n}(n+k)=\frac{1}{2} n(3 n+1) \quad \forall n \in \mathbb{N} \)
lndulationsantang
\( n=1 \)
\( \begin{array}{l} \sum \limits_{k=1}^{1}(n+k)=1+1=2 \\ \frac{1}{2} \cdot 1(3 \cdot 1+1)=\frac{1}{2} \cdot 4=2 \\ 2=2 \mathrm{~V} \end{array} \)

Linduktions voraussetzung
\( \exists n \in \mathbb{N}: \quad \sum \limits_{k=1}^{n}(n+k)=\frac{1}{2} n(3 n+1) \)
Induktionsbehauptung
2u zeigen: \( \sum \limits_{k=1}^{n+1}(n+1+k)=\frac{1}{2}(n+1)(3(n+1)+1) \)
Induktionsschritt
\( \begin{array}{l} \sum \limits_{k=1}^{n+1}(n+1+k)=\sum \limits_{k=1}^{n}(n+k)+((n+1)+(n+1)) \\ \frac{1}{2}(n+1)(3 n+4)=\frac{1}{2} n(3 n+1)+2 n+2 \\ (n+1)(3 n+4)=n(3 n+1)+4 n+4 \\ 3 n^{2}+4 n+3 n+4=3 n^{2}+n+4 n+4 \\ 3 n^{2}+7 n+4=3 n^{2}+5 n+4 \end{array} \)

Answer 1

Aloha :)

Der Induktionsanfang ist dir ja bereits gelungen.

Für den Induktionsschritt von \(n\) auf \((n+1)\) kannst du also$$\sum\limits_{k=1}^n(n+k)=\frac12n(3n+1)=\frac32n^2+\frac n2$$voraussetzen und folgende Rechnung durchführen:$$\sum\limits_{k=1}^{(n+1)}((n+1)+k)=\sum\limits_{k=1\pink{+1}}^{(n+1)\pink{+1}}(((n\pink{-1)}+1)+k)=\sum\limits_{k=2}^{n+2}(n+k)$$$$\qquad=\underbrace{(\,n+(n+2)\,)}_{k=n+2}+\underbrace{(\;n+\cancel{(n+1)}\,)}_{k=n+1}+\sum\limits_{k=1}^n(n+k)-\underbrace{\cancel{(n+1)}}_{k=1}$$$$\qquad=3n+2+\sum\limits_{k=1}^n(n+k)\stackrel{\text{I.V}}{=}(3n+\pink{2})+\left(\frac32n^2+\frac n2\right)$$$$\qquad=\left(\frac32n^2+3n+\pink{\frac32}\right)+\left(\frac n2+\pink{\frac12}\right)=\frac32(n+1)^2+\frac{n+1}{2}\quad\checkmark$$

Answer 2

Das Problem ist bei dir das Auseinanderziehen der Summe. Beachte dass \( n \) bzw. \( n+1 \) ein fester Wert ist. Es ist also $$ \sum_{k=1}^{n+1}(n+1+k) = \sum_{k=1}^n (n+1+k) + (n+1+n+1). $$

Comments

Ich verstehe das irgendwie nicht. Normalerweise steht bei mir immer links die Induktionsbehauptung und rechts bilde ich aus der Induktionsvoraussetzung dann das gleiche. Also hier wollte ich die Induktionsvoraussetzung bis n nehmen und dann noch n+1+n+1 aus der Voraussetzung addieren. Das hat bis jetzt immer funktioniert, wieso geht das hier nicht?

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Weil das \( n+1 \) in der Summe fix ist und nicht von \( k \) abhängt. Das heißt, egal, ob die Summe bis \( n \) oder \( n +1 \) geht, in der Summe steht immer \( n+1 \).