Aufgabe:
\( \sum\limits_{k=1}^{n}{(n+k)} \) = \( \frac{1}{2} \)n(3n+1). Beweise für n∈ℕ mittels vollständiger Induktion.
Problem/Ansatz:
Ich rechne an der Aufgabe jetzt schon 2 Stunden aber ich komme nicht weiter. Das ist mein Lösungsweg, aber es geht nie ganz auf:
Text erkannt:
\( A(n): \sum \limits_{k=1}^{n}(n+k)=\frac{1}{2} n(3 n+1) \quad \forall n \in \mathbb{N} \)
lndulationsantang
\( n=1 \)
\( \begin{array}{l} \sum \limits_{k=1}^{1}(n+k)=1+1=2 \\ \frac{1}{2} \cdot 1(3 \cdot 1+1)=\frac{1}{2} \cdot 4=2 \\ 2=2 \mathrm{~V} \end{array} \)
Linduktions voraussetzung
\( \exists n \in \mathbb{N}: \quad \sum \limits_{k=1}^{n}(n+k)=\frac{1}{2} n(3 n+1) \)
Induktionsbehauptung
2u zeigen: \( \sum \limits_{k=1}^{n+1}(n+1+k)=\frac{1}{2}(n+1)(3(n+1)+1) \)
Induktionsschritt
\( \begin{array}{l} \sum \limits_{k=1}^{n+1}(n+1+k)=\sum \limits_{k=1}^{n}(n+k)+((n+1)+(n+1)) \\ \frac{1}{2}(n+1)(3 n+4)=\frac{1}{2} n(3 n+1)+2 n+2 \\ (n+1)(3 n+4)=n(3 n+1)+4 n+4 \\ 3 n^{2}+4 n+3 n+4=3 n^{2}+n+4 n+4 \\ 3 n^{2}+7 n+4=3 n^{2}+5 n+4 \end{array} \)