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Aufgabe:

\( \sum\limits_{k=1}^{n}{(n+k)} \) = \( \frac{1}{2} \)n(3n+1). Beweise für n∈ℕ mittels vollständiger Induktion.


Problem/Ansatz:

Ich rechne an der Aufgabe jetzt schon 2 Stunden aber ich komme nicht weiter. Das ist mein Lösungsweg, aber es geht nie ganz auf:

20240129_082926.jpg

Text erkannt:

\( A(n): \sum \limits_{k=1}^{n}(n+k)=\frac{1}{2} n(3 n+1) \quad \forall n \in \mathbb{N} \)
lndulationsantang
\( n=1 \)
\( \begin{array}{l} \sum \limits_{k=1}^{1}(n+k)=1+1=2 \\ \frac{1}{2} \cdot 1(3 \cdot 1+1)=\frac{1}{2} \cdot 4=2 \\ 2=2 \mathrm{~V} \end{array} \)

Linduktions voraussetzung
\( \exists n \in \mathbb{N}: \quad \sum \limits_{k=1}^{n}(n+k)=\frac{1}{2} n(3 n+1) \)
Induktionsbehauptung
2u zeigen: \( \sum \limits_{k=1}^{n+1}(n+1+k)=\frac{1}{2}(n+1)(3(n+1)+1) \)
Induktionsschritt
\( \begin{array}{l} \sum \limits_{k=1}^{n+1}(n+1+k)=\sum \limits_{k=1}^{n}(n+k)+((n+1)+(n+1)) \\ \frac{1}{2}(n+1)(3 n+4)=\frac{1}{2} n(3 n+1)+2 n+2 \\ (n+1)(3 n+4)=n(3 n+1)+4 n+4 \\ 3 n^{2}+4 n+3 n+4=3 n^{2}+n+4 n+4 \\ 3 n^{2}+7 n+4=3 n^{2}+5 n+4 \end{array} \)

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Aloha :)

Der Induktionsanfang ist dir ja bereits gelungen.

Für den Induktionsschritt von \(n\) auf \((n+1)\) kannst du also$$\sum\limits_{k=1}^n(n+k)=\frac12n(3n+1)=\frac32n^2+\frac n2$$voraussetzen und folgende Rechnung durchführen:$$\sum\limits_{k=1}^{(n+1)}((n+1)+k)=\sum\limits_{k=1\pink{+1}}^{(n+1)\pink{+1}}(((n\pink{-1)}+1)+k)=\sum\limits_{k=2}^{n+2}(n+k)$$$$\qquad=\underbrace{(\,n+(n+2)\,)}_{k=n+2}+\underbrace{(\;n+\cancel{(n+1)}\,)}_{k=n+1}+\sum\limits_{k=1}^n(n+k)-\underbrace{\cancel{(n+1)}}_{k=1}$$$$\qquad=3n+2+\sum\limits_{k=1}^n(n+k)\stackrel{\text{I.V}}{=}(3n+\pink{2})+\left(\frac32n^2+\frac n2\right)$$$$\qquad=\left(\frac32n^2+3n+\pink{\frac32}\right)+\left(\frac n2+\pink{\frac12}\right)=\frac32(n+1)^2+\frac{n+1}{2}\quad\checkmark$$

Avatar von 152 k 🚀
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Das Problem ist bei dir das Auseinanderziehen der Summe. Beachte dass \( n \) bzw. \( n+1 \) ein fester Wert ist. Es ist also $$ \sum_{k=1}^{n+1}(n+1+k) = \sum_{k=1}^n (n+1+k) + (n+1+n+1). $$

Avatar von 18 k

Ich verstehe das irgendwie nicht. Normalerweise steht bei mir immer links die Induktionsbehauptung und rechts bilde ich aus der Induktionsvoraussetzung dann das gleiche. Also hier wollte ich die Induktionsvoraussetzung bis n nehmen und dann noch n+1+n+1 aus der Voraussetzung addieren. Das hat bis jetzt immer funktioniert, wieso geht das hier nicht?

Weil das \( n+1 \) in der Summe fix ist und nicht von \( k \) abhängt. Das heißt, egal, ob die Summe bis \( n \) oder \( n +1 \) geht, in der Summe steht immer \( n+1 \).

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