2n^n<=(n+1)^n Induktion

Question

2nⁿ≤(n+1)ⁿ soll gezeigt werden für alle n∈ℵ₊

Ich habe mal mit Induktion angefangen (Induktionsanfang ist trivial)

Induktionsschritt:

2(n+1)ⁿ⁺¹  =  (n+1)*((n+1)/n)ⁿ*2nⁿ  ≤  (n+1)*((n+1)/n)ⁿ*(n+1)ⁿ  =  (n+1)*(n+2+1/n)ⁿ

Mir gellingt die Abschätzung zu (n+2)ⁿ⁺¹ nicht. Hat jemand vielleicht einen kleinen hinweis?

Comments

Musst du das zwingend mit Induktion beweisen?

Answer 1

Nach binomischem Lehrsatz gilt

(n+1)ⁿ = nⁿ + n*n^n-1*1 + (n tief 2)*n^n-2*1² + … + 1         |n≥2
≥ nⁿ + nⁿ = 2nⁿ

qed.