Extremwertaufgabe für emre: Blechquader ohne obere Abdeckung

Question

Hallo emre,

  hier eine Extremwertaufgabe für dich

  Aus einem Blech mit den Maßen 40 x 20 cm werden
in den Ecken Quadrate mit der Seitenlänge x cm
ausgeschnitten.

  Das Bodenblech bleibt erhalten, die enstandenen
Seitenflächen werden hochgeklappt. Es entsteht
ein Quader ohne obere Abdeckung.

  Aufgabe : stelle eine Gleichung für das Volumen
des Körpers auf : f ( x ) =

  Wenn du die Gleichung gefunden hast kannst
du auch schon einmal einen Graph zeichnen.
1 < x <  8

mfg Georg

Answer 1

Hallo Georg,

f(x)=(40-2x)(20-2x)

     =800-80x-40x+4x²

     =(800-120x+4x²)*(x) = 4x³-120x²+800x

Wenn ich jetzt für x zum Beispiel 5 einsetze kommt:

V= 4*(5)³-120*(5)²+800*(5)

V=1500m³

Ich kann aber nicht versprechen, ob das stimmt....hab das einfach mal versucht :)

 

LG

Comments

Das war noch nicht die Beantwortung der Aufgabe und noch nicht das
worauf ich hinaus will.
Zunächst war die Frage : wie heißt die Funktion fürs Volumen ?

Grundfläche mal Höhe

f ( x ) = ( 40 - 2x ) * ( 20 - 2x ) * x

Bitte

- diese Funktion selbst zeichnen
oder
- dir vom Funktionsplotter ( oben rechts auf dieser Seite ) zeichnen lassen
oder
- dir von mir ( Matheprogramm ) zeichnen lassen.

Dann kommt von meiner Seite die Frage : Berechne den x-Wert
bei dem das Volumen am größten ist !

mfg Georg

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Da muss ich doch die Nullstellen ausrechnen und dann die 1.Ableitung bilden und dann die Hoch und Tief punkte bestimmen oder?

Aber soweit bin ich noch gar nicht :(

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Hier zunächst er Graph

Du siehst, das größte Volumen entsteht bei 6.5 < x < 7 ( ungefähr ).

Und jetzt die Überlegungen ;

die 1.Ableitung ist die Steigungsfunktion einer Funktion
f ( x ) = ( 40 - 2x ) * ( 20 - 2x ) * x
ausmultipliziert ( damit es einfach geht )
f ( x ) = ( 40 - 2x ) * ( 20 * x - 2 * x^2  )
f ( x )=  800 * x - 40 * x^2 - 80 * x^2 + 4 * x^3
f ( x )=  800 * x - 120 * x^2 + 4 * x^3
1.Ableitung bilden
f ´( x ) = 800 - 240 *  x + 12 * x^2
wird in die 1.Ableitung ein x eingesetzt und der
Funktionswert ist positiv dann ist die Kurve steigend.
wird in die 1.Ableitung ein x eingesetzt und der
Funktionswert ist negativ dann ist die Kurve fallend.
wird in die 1.Ableitung ein x eingesetzt und der
Funktionswert ist 0 dann ist die Kurve weder steigen
noch fallend. Der Punkt ist ein Hoch- oder Tiefpunkt.
ZUr Ermittlung setzt man die 1.Ableitung zu 0.
f ´( x ) = 800 - 240 *  x + 12 * x^2 = 0
Bitte berechne das x aus.

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 800-240*x+12*x²=0

800-240x+12x²=0

<=>

12x²-240x+800=0 |:12

x²-20x+200/3=0 |pq-Formel

x₁=15,77350269

x₂=4,226497308

ich weiß aber nicht ob das stimmt

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Die Ergebnisse stimmen,

  wenn man nicht weiß ob Lösungen stimmen kann man diese
in die Ausgangsgleichung einsetzen. Das Ganze nennt  man

" DIE PROBE ".

  Leider ist meine Grafik falsch. Ich werde die komplette Lösung hier
nochmals einstellen.

  Du hast gerade eine Extremwertaufgabe gelöst.

  Frage : Wo ist der Hoch- und Tiefpunkt einer Funktion ?
  - 1.Ableitung bilden
  - 1.Ableitung  zu 0 setzen
  - x ausrechnen

  Das wars. Üblicherweise wird auch noch der Funktionswert an der
Stelle x berechnet .

  Diese Rechnungen kommen überall vor

  - Wissenschaft, Technik, Kaufmännisch.

  mfg Georg

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Korrektur

Die Funktion
f ( x ) = ( 40 - 2x ) * ( 20 - 2x ) * x
1.Ableitung
f ´( x ) = 800 - 240 *  x + 12 * x²
am Extrempunkt ist die Steigung 0
800 - 240 *  x + 12 * x² = 0
x ausrechnen
x = 4.23 cm
Funktionswert = max Volumen berechnen
f ( 4.23 ) = 1540 cm^3

Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.

mfg Georg

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Hallo Georg :)

Sehr Nett von dir, dass du mir den Stern trotzdem gibst, obwohl meine Antwort "falsch" war ....

Und danke für die Korrektur :)

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Hallo emre,

  zuerst wollte ich den " Korrektur " Kommentar als Antwort schreiben und
mir selbst einen Stern geben. Das funktionierte aber nicht.

  Hauptsache du lernst immer weiter dazu und hast Spaß dabei. Wenn du
mal keine Lust hast kannst du auch einmal eine Pause machen.

  mfg Georg

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Ja, ich hab immer Spaß :)

Und danke, dass du auch eine Aufgabe extra für mich gestellt hast :)