c)
\(f(x)=e^{x}- 2e^{-x}\)
Nullstellen:
\(e^{x}- 2e^{-x}=0 | \cdot e^{x}\)
\(e^{2x}- 2=0 \)
\(e^{2x}=2 \)
\(2x \cdot ln(e)=ln(2) \) mit \( ln(e)=1 \)
\(x=\frac{ln(2)}{2} \)
Extremwerte:
\(f'(x)=e^{x}- 2e^{-x}\cdot(-1)=e^{x}+2e^{-x}\)
\(e^{x}+2e^{-x}=0| \cdot e^{x}\)
\(e^{2x}+2=0 \)
\(e^{2x}=-2 \)
\(2x \cdot ln(e)=ln(-2) \) gibt keine Lösung in ℝ
Wendepunkt:
\(f'(x)=e^{x}+2e^{-x}\)
\(f''(x)=e^{x}+2e^{-x} \cdot (-1)=e^{x}-2e^{-x}\) ist identisch mit \(f(x)=e^{x}- 2e^{-x}\)
Die Nullstelle ist auch die Wendestelle.
Grenzwerte:
\(f(x)=e^{x}- 2e^{-x}=e^{x}- \frac{2}{e^x}=\frac{e^{2x}-2}{e^{x}}\)
Mit der Regel von l´Hospital \( \frac{Z'}{N'} \)
\( \lim\limits_{x\to\infty}\frac{e^{2x}-2}{e^{x}}= \lim\limits_{x\to\infty}\frac{2e^{2x}}{e^{x}}= \lim\limits_{x\to\infty}2e^{x}=∞ \)
