Kurvendiskussion mit NS, W, Ex, Graph

Question

Aufgabe:

Führen sie eine Kurvendiskussion durch. Überprüfen sie hierzu f auf Nullstellen, Extrema und Wendepunkte. Untersuchen sie, wie f sich für x-> +-unendlich verhält. Skizzieren Sie den Graphen von f in einem sinnvollen Bereich.

a) f(x)= (2x+2)×e^-0,5x

b) f(x)= (1-x) ×e^2-x

c) f(x)= e^x - 2e^-x

Comments

Kannst du auch sagen, was du konkret nicht verstehst daran? Für die Lösung kann man sich mit diversen Tools die Graphen auch einfach zeichnen lassen.

Answer 1

c)

$f(x)=e^{x}- 2e^{-x}$

Nullstellen:

$e^{x}- 2e^{-x}=0 | \cdot e^{x}$

$e^{2x}- 2=0$

$e^{2x}=2$

$2x \cdot ln(e)=ln(2)$      mit  $ln(e)=1$

$x=\frac{ln(2)}{2}$

Extremwerte:

$f'(x)=e^{x}- 2e^{-x}\cdot(-1)=e^{x}+2e^{-x}$

$e^{x}+2e^{-x}=0| \cdot e^{x}$

$e^{2x}+2=0$

$e^{2x}=-2$

$2x \cdot ln(e)=ln(-2)$ gibt keine Lösung in ℝ

Wendepunkt:

$f'(x)=e^{x}+2e^{-x}$

$f''(x)=e^{x}+2e^{-x} \cdot (-1)=e^{x}-2e^{-x}$  ist identisch mit  $f(x)=e^{x}- 2e^{-x}$

Die Nullstelle ist auch die Wendestelle.

Grenzwerte:

$f(x)=e^{x}- 2e^{-x}=e^{x}- \frac{2}{e^x}=\frac{e^{2x}-2}{e^{x}}$

Mit der Regel von l´Hospital $\frac{Z'}{N'}$

$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{e^{2x}-2}{e^{x}}= \lim\limits_{x\to\infty}\frac{2e^{2x}}{e^{x}}= \lim\limits_{x\to\infty}2e^{x}=∞$