Ableitung von ln mit Bruch, Wurzel und Summanden

Question

Ableitung von ln(sqrt(x-1)) im Bruch

Folgende Aufgabe:

f(x) = ln(\( \frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}} \))

Problem/Ansatz:

Der online Ableitungsrechner und mein Professor geben unterschiedliche Lösungen. Ich bin bis jetzt soweit gekommen:

f'(x) = \( \frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x}} \) · \( \frac{\frac{1}{2} · (\frac{1}{\sqrt{1-x}} · \sqrt{1+x}-\sqrt{1-x} · \frac{1}{\sqrt{1+x}})}{1+x} \)

Ich weiß nicht, wie ich mit der 1+x und 1-x umgehen soll, ich kann deshalb nichts vereinfachen. Bitte um Hilfe.

Gruß neo

Answer 1

Aloha :)

Die Wurzeln sind unangenehm. Daher würde ich die Funktion vor dem Ableiten umformen:$$f(x)=\ln\left(\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}}\right)=\ln\left(\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right)=\ln\left(\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^{\frac12}\right)=\frac12\ln\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$$

Die Ableitung erhalten wir nun mit der Kettenregel:$$f'(x)=\frac12\cdot\underbrace{\frac{1}{\frac{1-x}{1+x}}}_{\text{äußere Abl.}}\cdot\underbrace{\left(\frac{1-x}{1+x}\right)'}_{\text{innere Abl.}}=\frac12\cdot\frac{1+x}{1-x}\cdot\left(\frac{\overbrace{1-x}^{=u}}{\underbrace{1+x}_{=v}}\right)'$$und der Quotientenregel:$$f'(x)=\frac12\cdot\frac{1+x}{1-x}\cdot\frac{\overbrace{(-1)}^{=u'}\cdot\overbrace{(1+x)}^{=v}-\overbrace{(1-x)}^{=u}\cdot\overbrace{1}^{=v'}}{\underbrace{(1+x)^2}_{=v^2}}=\frac12\cdot\frac{1+x}{1-x}\cdot\frac{-1-x-1+x}{(1+x)^2}$$$$\phantom{f'(x)}=\frac12\cdot\frac{1+x}{1-x}\cdot\frac{-2}{(1+x)^2}=\frac{-1}{(1-x)(1+x)}=\frac{-1}{1-x^2}=\frac{1}{x^2-1}$$

Answer 2

Du kannst es dir recht einfach machen, wenn du dich an die folgenden Logarithmenregeln erinnerst:

\(\ln \frac ab = \ln a - \ln b\) und \(\ln a^b = b\ln a\)

Damit ergibt sich:

$$f'(x) = \left(\frac 12 \ln (1-x) - \frac 12 \ln (1+x)\right)' = \frac 12 \left(-\frac 1{1-x} - \frac 1{1+x}\right) = ...$$

$$... = \frac 1{x^2-1}$$

Answer 3

Es gilt:

f(x) = ln g(x) -> f '(x) = g'(x)/g(x)

g '(x) kannst du mit der Quotientenregel ableiten oder der Produktregel:

√(1+x)/√(1-x) = (1+x)^0,5*(1-x)^(-0.5)

Zur Kontrolle:

https://www.ableitungsrechner.net/

Dass es viel einfacher geht, hat dir trancelocation gezeigt.

Comments

Vielen Dank an alle, dieses Gesetz hatte ich vergessen.