Bestimmen Sie mit Begründung, ob die folgende Funktion stetig oder nicht stetig an der Stelle x_{0}=0 ist:

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

a) Bestimmen Sie mit Begründung, ob die folgende Funktion stetig oder nicht stetig an der Stelle \( x_{0}=0 \) ist:
\( f:\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x):=\left\{\begin{array}{ll} \frac{\sin x-\tan x}{x^{3}}, & \text { falls } x \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \backslash\{0\} \\ 1, & \text { falls } x=0 \end{array}\right. \)

Problem/Ansatz:

Benötige bitte einen Lösungsweg, komme alleine nicht weiter :(

Comments

Z.B. mit Reihenentwicklung: \(\,\dfrac{\sin x-\tan x}{x^3}=-\dfrac12-\dfrac{x^2}8+O(x^3)\).

---

Reihenentwicklung haben wir nicht behandelt. Gibt es noch eine andere evtl. "einfachere" Möglichkeit? :)

---

Hier der Graph:

https://www.wolframalpha.com/input?i=%28sinx+-tanx%29%2Fx%5E3+from+-pi%2F2+to+pi%2F2

Der Grenzwert ist -0,5 und nicht 1 für x ->0

Das musst du wohl zeigen.

---

perfekt, danke!!! Das funktionier mit der Regel von l`hospital :)

---

\(\)----\(\)