Konstruktion einer Flächenhalbierung

Question

Gegeben ist das Dreieck ABC, der Mittelpunkt M der Strecke \( \overline{BC} \) und ein weiterer Punkt T beliebig zwischen C und M. Halbiere den Flächeninhalt F_ABC des Dreiecks ABC mittels Konstruktion einer Strecke durch T.

Comments

ein weiterer Punkt T beliebig zwischen T und M

Macht das Sinn? Zweimal T ?

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Danke für den Hinweis, wurde ausgebessert.

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Et malleolum falsum tangere humanum est. :)

*malleolus = Taste

Qua in re expertissimus sum. Doleo.

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1. Gerade g parallel zu a durch A
2. Gerade h snkrecht zu g durch B
3. D ist Schnittpunkt von g und h
4. E ist Mittelpunkt von D und B
5. Gerade k parallel zur Geraden TE durch C
6. F ist der Schnittpunkt von k und h
7. Gerade l parallel zu g durch F
8. G ist der Schnittpunkt der Geraden AB mit l
9. TG ist die gesuchte Strecke.

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Wie kommen Sie zu Ihrem Ansatz? Welche Grundüberlegungen sind notwendig? Hintergrundbasiswissen?

Wielange haben Sie dafür gebraucht?

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Frage an hj2166: Wo liegt g in Bezug auf A, B und C?

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Wo liegt g in Bezug auf A, B und C?

\(g\) ist die hellblaue Gerade durch \(A\) parallel zur Seite \(a ={BC}\)

Wie kommen Sie zu Ihrem Ansatz? Welche Grundüberlegungen sind notwendig? Hintergrundbasiswissen?

Die Idee dahinter ist ein Dreieck \(\triangle BTG\) zu konstruieren, welches halb so groß ist, wie das Dreieck \(\triangle ABC\). Gegeben ist die Grundseite \(BT\) und der Winkel \(\angle TBG = \beta\) (grün). Gesucht ist die Höhe \(h_G\). Es gilt $$\begin{aligned}\frac12 |BT| h_G &= \frac12 F_{ABC} \\ &= \frac12\left(\frac12 |BC| h_a\right) &&|\,h_a = |BD|\\ &= \frac12\left(\frac12 |BC| |BD|\right) &&|\,|BE| = \frac12 |BD|\\ \frac12 |BT| h_G&= \frac12 |BC| |BE| &&|\,\cdot 2\div \left(|BT|\cdot |BE|\right)\\ \frac{h_g}{|BE|} &= \frac{|BC|}{|BT|}&&|\,h_G = |BF|\end{aligned}$$.. und da steht der 1.Strahlensatz. Die Parallelen sind die Geraden durch \(TE\) und \(CF\) (schwarz).

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Man beachte, dass der Punkt M nicht explizit in diese Konstruktion einfließt, die Halbierung erfolgt mit dem Punkt E. Man muss hier nur wissen, dass T zwischen M und C und nicht zwischen M und B liegt, damit man weiß, in welche Richtung die Konstruktion gehen soll, d.h. dass am Ende G zwischen A und B und nicht zwischen A und C liegt.

Wielange haben Sie dafür gebraucht?
abakus' geniale Konstruktion zu verstehen hat mich mehr Zeit gekostet.

Answer 1

1) Gerade TA

2) Parallele zu TA durch M schneidet AB in Q.

TQ ist die gesuchte Strecke..

Und bevor ggT auch mich fragt

Wie kommen Sie zu Ihrem Ansatz? Welche Grundüberlegungen sind notwendig? Hintergrundbasiswissen?

Wenn A1+A2=A1+A3 gilt folgt daraus A2=A3.

Und wenn zwei Dreiecke die gleiche Grundseite haben, benötigen sie für den gleichen Flächeninhalt auch gleich lange Höhen.

Und wenn noch jemand fragt, wie lange ich gebraucht habe: Ja, das Aufschreiben dieser dreizeiligen Trivialität hat lange gedauert.