Vollständige induktion zeigen für eine ungleichung

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie dass für alle n element aus natürlichen zahlen gilt:

2²ⁿ⁺² >2n+5

Problem/Ansatz:

I.A : für n=1 wahr

I.S.: Annahme dass 2²ⁿ⁺² >2n+5 wahr ist.

Zu zeigen: 2^(n+1)+2 >2(n+1)+5

= 2ⁿ⁺³>2n+7

Wie muss ich aber nun weiter vorgehen?

Answer 1

Hallo,

Zu zeigen: 2^(n+1)+2 >2(n+1)+5
=2ⁿ⁺³>2n+7
Wie muss ich aber nun weiter vorgehen?

Genau wie es da steht: zeige \(2^{(n+1)+2} \gt 2(n+1)+ 5\) und Du darfst dabei benutzen, dass \(2^{n+2} \gt 2n+ 5\) ist. Und das geht so:$$\begin{aligned} 2^{(n+1)+2} &= 2^{n+3} \\ &= 2^{n+2} \cdot 2 &&|\,\text{lt. Vor.}\\ &\gt (2n +5) \cdot 2 \\ &= 4n + 10 \\ &= 2n+2 + 5 + 2n + 3 \\ &= 2(n+1) + 5 + (2n +3) \\ &\gt 2(n+1) + 5 \\ &\text{q.e.d}\end{aligned}$$und damit hast Du gezeigt, dass es auch für \(n+1\) und damit für jedes folgende \(n\) gilt.

Gruß Werner

Comments

hab die den exponenten falsch abgeschrieben sollte heißen:

2ⁿ⁺² > 2n+5

I.S.: Annahme dass 2²ⁿ⁺² >2n+5 wahr ist

hier dann auch richtig heißt es:

I.S.: Annahme dass 2ⁿ⁺² >2n+5 wahr ist

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hab die den exponenten falsch abgeschrieben

ich habe meine Antwort korrigiert.

Answer 2

Dein Ansatz beim Induktionsschritt ist schon falsch. Wenn du in \(2^{2n+2}\) den Ausdruck \(n+1\) einsetzt, erhältst du \(2^{2(n+1)+2}\). Es macht auch nicht viel Sinn, den Exponenten dann komplett auszurechnen/vereinfachen, weil du ja \(2^{2n+2}\) brauchst, um die Induktionsvoraussetzung anwenden zu können.

Schreibe also \(2^{2(n+1)+2}=2^{2n+2+2}=2^2\cdot 2^{2n+2}\) und wende darauf die IV an.

Comments

hab die den exponenten falsch abgeschrieben sollte heißen:

2ⁿ⁺² > 2n+5

I.S.: Annahme dass 2²ⁿ⁺² >2n+5 wahr ist

hier dann auch richtig heißt es:

I.S.: Annahme dass 2ⁿ⁺² >2n+5 wahr ist

I.S. ist dann wieder richtig

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Vorgehensweise ist dann dieselbe. Schreibe dann \(2^{(n+1)+2}=2^{n+2+1}=2\cdot 2^{n+2}\).

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okay dann hätte ich

2ⁿ⁺²*2 > 2n+7

wegen Annahme

=

2ⁿ⁺²*2= (2n+5)*2

= 4n+10 und das ist tatsächlich größer als 2n+7

so richtig?

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Ja, denn \(4n+10=2(n+1)+5+2n+3\). Das ist ganz offensichtlich größer.

Answer 3

Aloha :)

Wir wollen die folgende Behauptung zeigen:$$2^{n+2}>2n+5\quad;\quad n\in\mathbb N$$

Wir verwenden dazu die Methode der vollständigen Induktion.

1) Verankerung bei \(n=1\):$$2^{n+2}=2^{1+2}=2^3=8>7=2\cdot1+5=2\cdot n+5\quad\checkmark$$

2) Induktionsschritt von \(n\) auf \((n+1)\):$$2^{(n+1)+2}=2^{n+3}=2^1\cdot2^{n+2}\stackrel{\text{(I.V.)}}{>}2\cdot(2n+5)=4n+10$$$$\phantom{2^{2(n+1)+5}}=2n+7+(2n+3)>2n+7=(2n+2)+5=2(n+1)+5\quad\checkmark$$

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hab die den exponenten falsch abgeschrieben sollte heißen:

2ⁿ⁺² > 2n+5

I.S.: Annahme dass 2²ⁿ⁺² >2n+5 wahr ist

hier dann auch richtig heißt es:

I.S.: Annahme dass 2ⁿ⁺² >2n+5 wahr ist

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Ich habe meine Antwort auf den korrigierten Exponenten angepasst.

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aber bei dir steht im exponent noch +5 da müsste +2 stehen

\(2^{n+5}=2^{1+5}=2^6=64>7=2\cdot1+5=2\cdot n+5\quad\checkmark\)

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Hast du nicht, denn der Exponent ist nicht \(n+5\).

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So jetzt aber...

Answer 4

Zuerst zum Ind.Anf.: n=1 wahr hinschreiben reicht nicht. Begründung muss sein.

Dann die Ind.Beh. richtig aufstellen (Deine stimmt nicht), sonst kann's nicht klappen.

Prüfe außerdem nochmal die Aufgabenstellung genau, stimmt die so? Dann schauen wir weiter.

Comments

Zuerst zum Ind.Anf.: n=1 wahr hinschreiben reicht nicht

Ja das weiß ich, habs bei mir auch ausgerechnet undd so gezeigt, wollte das aber hier nicht alles abtippen.

aufgabenstellung hab ich tatsächlich falsch aufgeschrieben. siehe kommentare bei vorherigen antworten

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Ok. Dann ist die Ind.Beh. die von Dir oben genannte.

Vorgehen: Linke Seite der Ind.Beh. hinschreiben, so umformen, dass die Ind.Ann. eingebracht werden kann. Dann Ind. Ann. einbringen. Dann steht's schon fast da.