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Aufgabe:

Zeigen Sie dass für alle n element aus natürlichen zahlen gilt:

22n+2 >2n+5

Problem/Ansatz:

I.A : für n=1 wahr

I.S.: Annahme dass 22n+2 >2n+5 wahr ist.

Zu zeigen: 2(n+1)+2 >2(n+1)+5

= 2n+3>2n+7

Wie muss ich aber nun weiter vorgehen?

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Hallo,

Zu zeigen: 2(n+1)+2 >2(n+1)+5
=2n+3>2n+7
Wie muss ich aber nun weiter vorgehen?

Genau wie es da steht: zeige 2(n+1)+2>2(n+1)+52^{(n+1)+2} \gt 2(n+1)+ 5 und Du darfst dabei benutzen, dass 2n+2>2n+52^{n+2} \gt 2n+ 5 ist. Und das geht so:2(n+1)+2=2n+3=2n+22lt. Vor.>(2n+5)2=4n+10=2n+2+5+2n+3=2(n+1)+5+(2n+3)>2(n+1)+5q.e.d\begin{aligned} 2^{(n+1)+2} &= 2^{n+3} \\ &= 2^{n+2} \cdot 2 &&|\,\text{lt. Vor.}\\ &\gt (2n +5) \cdot 2 \\ &= 4n + 10 \\ &= 2n+2 + 5 + 2n + 3 \\ &= 2(n+1) + 5 + (2n +3) \\ &\gt 2(n+1) + 5 \\ &\text{q.e.d}\end{aligned}und damit hast Du gezeigt, dass es auch für n+1n+1 und damit für jedes folgende nn gilt.

Gruß Werner

Avatar von 49 k

hab die den exponenten falsch abgeschrieben sollte heißen:

2n+2 > 2n+5




I.S.: Annahme dass 22n+2 >2n+5 wahr ist



hier dann auch richtig heißt es:

I.S.: Annahme dass 2n+2 >2n+5 wahr ist

hab die den exponenten falsch abgeschrieben

ich habe meine Antwort korrigiert.

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Dein Ansatz beim Induktionsschritt ist schon falsch. Wenn du in 22n+22^{2n+2} den Ausdruck n+1n+1 einsetzt, erhältst du 22(n+1)+22^{2(n+1)+2}. Es macht auch nicht viel Sinn, den Exponenten dann komplett auszurechnen/vereinfachen, weil du ja 22n+22^{2n+2} brauchst, um die Induktionsvoraussetzung anwenden zu können.

Schreibe also 22(n+1)+2=22n+2+2=2222n+22^{2(n+1)+2}=2^{2n+2+2}=2^2\cdot 2^{2n+2} und wende darauf die IV an.

Avatar von 21 k

hab die den exponenten falsch abgeschrieben sollte heißen:

2n+2 > 2n+5


I.S.: Annahme dass 22n+2 >2n+5 wahr ist

hier dann auch richtig heißt es:

I.S.: Annahme dass 2n+2 >2n+5 wahr ist

I.S. ist dann wieder richtig

Vorgehensweise ist dann dieselbe. Schreibe dann 2(n+1)+2=2n+2+1=22n+22^{(n+1)+2}=2^{n+2+1}=2\cdot 2^{n+2}.

okay dann hätte ich

2n+2*2 > 2n+7

wegen Annahme

=

2n+2*2= (2n+5)*2

= 4n+10 und das ist tatsächlich größer als 2n+7

so richtig?

Ja, denn 4n+10=2(n+1)+5+2n+34n+10=2(n+1)+5+2n+3. Das ist ganz offensichtlich größer.

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Aloha :)

Wir wollen die folgende Behauptung zeigen:2n+2>2n+5;nN2^{n+2}>2n+5\quad;\quad n\in\mathbb N

Wir verwenden dazu die Methode der vollständigen Induktion.

1) Verankerung bei n=1n=1:2n+2=21+2=23=8>7=21+5=2n+52^{n+2}=2^{1+2}=2^3=8>7=2\cdot1+5=2\cdot n+5\quad\checkmark

2) Induktionsschritt von nn auf (n+1)(n+1):2(n+1)+2=2n+3=212n+2>(I.V.)2(2n+5)=4n+102^{(n+1)+2}=2^{n+3}=2^1\cdot2^{n+2}\stackrel{\text{(I.V.)}}{>}2\cdot(2n+5)=4n+1022(n+1)+5=2n+7+(2n+3)>2n+7=(2n+2)+5=2(n+1)+5\phantom{2^{2(n+1)+5}}=2n+7+(2n+3)>2n+7=(2n+2)+5=2(n+1)+5\quad\checkmark

Avatar von 152 k 🚀

hab die den exponenten falsch abgeschrieben sollte heißen:

2n+2 > 2n+5



I.S.: Annahme dass 22n+2 >2n+5 wahr ist


hier dann auch richtig heißt es:

I.S.: Annahme dass 2n+2 >2n+5 wahr ist

Ich habe meine Antwort auf den korrigierten Exponenten angepasst.

aber bei dir steht im exponent noch +5 da müsste +2 stehen

2n+5=21+5=26=64>7=21+5=2n+52^{n+5}=2^{1+5}=2^6=64>7=2\cdot1+5=2\cdot n+5\quad\checkmark

Hast du nicht, denn der Exponent ist nicht n+5n+5.

So jetzt aber...

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Zuerst zum Ind.Anf.: n=1 wahr hinschreiben reicht nicht. Begründung muss sein.

Dann die Ind.Beh. richtig aufstellen (Deine stimmt nicht), sonst kann's nicht klappen.

Prüfe außerdem nochmal die Aufgabenstellung genau, stimmt die so? Dann schauen wir weiter.

Avatar von 10 k
Zuerst zum Ind.Anf.: n=1 wahr hinschreiben reicht nicht

Ja das weiß ich, habs bei mir auch ausgerechnet undd so gezeigt, wollte das aber hier nicht alles abtippen.

aufgabenstellung hab ich tatsächlich falsch aufgeschrieben. siehe kommentare bei vorherigen antworten

Ok. Dann ist die Ind.Beh. die von Dir oben genannte.

Vorgehen: Linke Seite der Ind.Beh. hinschreiben, so umformen, dass die Ind.Ann. eingebracht werden kann. Dann Ind. Ann. einbringen. Dann steht's schon fast da.

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